SKA.XCI-: Dl 19 JANVIER 1920. 107 



pouvoir construire la fonction ty (') tout entiere en combinant les branches 

 multiplication des substitutions r/u'ellcs de/inissent. 

 C'est la un automorphisme d'un type nouveau qui est la propriete carac- 

 'istique des fonctions substitutrices associees a l'equation (1). 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Le theoreme cle M. Picard et les generalisation* 

 de M. Borel. Note de M. G. Vai.ikon. 



Les nombreuses demonstrations du theoreme de M. Picard sur les valeurs 

 que peut prendre une fonction uni forme dans le voisinage d'un point sin- 

 gulier essentiel isole sont toutes des demonstrations indirecles. 



Dans le cas ou le point singulier est d'ordre fini, c'est-a-dire ou la crois- 

 sance du maximum du module est celle d'une fonction entiere d'ordre fini, 

 on voit de suite comment on peut faire une demonstration directe. Celle 

 demonstration peut s'etendre au cas de Tordre infini en utilisant la methode 

 que j'ai indiquee dans deux Notes precedentes (Comples rendus, t. 166, 

 p. 0o5; t. 167, p. 988). 



Considerons une fonction uniforme admettant le point a Tinfini pour 

 point essentiel isole, n'ayant pas de poles dans le voisinage de ce point, et 

 ne pienant pas la valeur o, elle est de la forme 





(0 F(«) 



<p( ^ j etant holomorphe pour z infini, k un entier positif et /'(-) une fonction 

 entiere; nous supposons que c'est une vraie fonction entiere, la methode se 

 simplifiant dans le cas d'un polynome. Nous allons montrer que l'equa- 

 tion F(z) = a possede, quel que soit «, une infinite de racines dont nous 

 trouverons une valeur approchee. 



Soient r une valeur ordinaire de/(V) (voir ma premiere Note), s (\z \ = s) 

 une valeur de z pour laquelle \f{z)\ reste superieur a -^' M(r) etant le 

 maximum de |/0)| pour \z | = ret K un nombre fixe superieur a 1. 



On peut remplacer l'egalite (2) de ma seconde Note par la suivante : 



