SEANCE DU 9 FEVRIER 1920. 3l5 



premier ou du second ordre correspondant, dans son siege, a des paires de 

 branches non tangentes ou n'ayant qu'un contact du premier ordre. 



Gela pose, le groupe Q, conservant le contact, admet, de ce chef, tousles 

 invariants du groupe de contact complet. L'application des formules (2)lui 

 en assigne d'autres, etrangers a ce groupe et resultant de la substitution (2) 

 dans la plupart des invariants ponctuels contenant des facteurs du premier 

 ou du second ordre. En effet, cette substitution change lefacteurdu premier 

 ordre r\' a — r[ b en x a — x b qui est d'ordre zero, et le facteur du second 



ordre t\ a - r\" 6 en -^ 7 ou J f ~- y f contenant un facteur monome qui, en 



general, ne s'eliminera pas dans le produit d'expressions analogues. L'une 

 de ces deux alterations suffirait a rendre Tinvariant obtenu etranger, non 

 seulement au groupe de contact complet, mais aussi au groupe ponctuel 

 complet. 



En operant sur les facteurs binomes dWdre superieur a deux, les 

 fonctions W sont eliminees par difference, et les fonctions <P ainsi que le 

 parametre a par la nullite du degre et du poids du produit, de sorte qu'on 

 relombe sur des invariants communs aux groupes ponctuel et de contact 

 complets. 



La seconde phase de Toperation (1), introduisant la ponctuelle arbi- 

 trage P, supprime tout invariant etranger au groupe ponctuel complet; 

 elle supprime done, ipso facto, tout invariant etranger au groupe de contact 

 complet. 



La transformation resultante 12, admettant tous les invariants de contact 

 et aucun autre, equivaut done a la transformation de contact la plus 

 generale, ce qu'il fallait demontrer. 



La formule connue qui ramene la transformation d'une transformation a 

 une composition de transformations successives donne ainsi, par definition, 



a = np n, 



P etant la ponctuelle a transformer et II la polarite transfonnatrice (2). 



Les symboles II P , P II representent les sous-groupes de contact definis 

 par le changement d'une droite en point et d'un point en droite. 



On sait que toute transformation birationnelle est une resultante d'homo- 

 graphies et de biquadratiques. Onpeutajouter que ces biquadratiquessont 

 elles-memes reductibles a ['inversion cartesienne 



