SEANCE DU 9 FEYRIER 1920. 3l7 



a des solutions particulieres W t , W& . . . , >F B (d'une maniere generate nous 

 designons par A', A", . . . les derivees d'une fonction A dearpar rapport a x). 

 En developpant par rapport aux elements de la premiere colonne, les coeffi- 

 cients deviennent des fonctions rationnelles alternees des racines y t et en 

 divisant par le coefficient de il in ~ ,} (ce coefficient n'est pas nul identique- 

 menten supposant que n — 1 des integrals W L soient distinctes), les coeffi- 

 cients deviennent des fonctions rationnelles de x. L'equalion diflerentielle 



est sans second membre, car la sorarae V W^— o est une solution. 



Designons G(o7,j,.) par 0,-, la somme 6< 4- a H-...H- Q„ par p (Vest une 



fonclion rationnelle de x) et la difference 0, p par $,. En remplagant 



dans Tequation dillerentielle (2) T; par $,- nous obtenons (e/?$///?/>™tf^rt — 1 

 des integrates $ 4 distinctes) une equation diiFerentieile lipeaire (K) 

 d'ordre n — r sans second membre ou les coefficients sont des fonctions 

 rationnelles de x. Les deux equations difference lies (2) pt ( E) ont iememe 

 groupe, car tout contour ferme decrit par la variable x qui change une 

 r.acine y t en y k change de memc U^ en W k et <X> £ en <& k , car les fonctions 

 rationnelles q et p ne changent pas. Nous avons done, d'apres une propo- 

 sition bien connue de la theorie des equations differentielles lineaires, 

 W;= p <d ( + p, <D; 4- p 2 <t>) h_ . . . _}_ p„_ 2 <D,«~2> ( i = 1 , 2, . . . , n ), 



P , P,, P 2 , ..., P„_ 2 etant des fonctions rationnelles de x, car les inte- 

 grales W< et <£, sont evidemment regulieres. Done 



(3 ) j W t dx = fPo^, cfcc +■ /p, fy <£c 4- fp t Q) dx+...+ fp n -M n ~ %) dx. 



En integrant par parties il vient 



f P*<ty*> rfa: = P*^* l) - fp' k ®? l) dx, 

 d ou nous obtenons en appliquant cette formule k fois 



/p**J* j dx = D k (x, y t ) + fq{x) <D, dx, 



D* etant une fonction rationnelle de x et y h el Q une fonction rationnelle 

 de .r seulement. Nous obtenons done de la formule (3) 



