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Dans la figure i bis qui, dans notre Memoire, accompagne cette 

 demonstration, imaginons que Ton trace non plus un seul arc de courbe c, 

 mais deux arcs tres voisins e, e t . Le point P (se reporter a la figure en 

 question) sera encore pris sur e, mais le point P' sera pris sur s,. On 

 appliquera l'identite fondamentale a la fonction U (X, Y , a?, y) (relative a £ ) 

 et a la fonction Z,(X, Y, a?',j'), c'est-a-dire a la fonction Z relative a a,, 

 laquelle est egale a la quantite U { (a?',y, X, Y) egalement deduite de U par 

 substitution de 3 1 a 3. Le contour d'integration sera le me me que dans la 

 figure a laquelle nous renvoyons, la partie curviligne etant empruntee a £. 

 Sur cette derniere courbe (en la supposant, pour fixer les idees, plus pres 

 des points O, O' que ©,), les caracterisliques issues de P' intercepteront un 

 peth arc p'p { qui fera partie du contour d'integration et le long duquel 

 (voir le Memoire cite du Bulletin de la Societe mathernatique de France) 

 la fonction Z, doit etre remplacee par la fonction de Riemann ordinaire 

 relative aux points X, Y, oc\y\ 



En tenant compte de cette derniere circonstance et aussi de ce que, sur 

 Fare restant de e, U est nul et Z, egal a Tun quelconque des deux infini- 

 ment petits equivalents — -r- &y = — ~ ox, on trouve 



l Z 1 (^y,^,/)-U(^,y,^j) 



[ W A \^ Jv J v dy dx " 



3. Gonvenons, dans ce qui suit, de designer par a, a', A les valeurs de la 

 fonction a aux points (a?, 7), (cc r ,y'), (X, Y) respectivement, avec une 

 notation correspondante pour b. 



Les operations ( — -+- a J , I— - — lA , appliquees au second membre de 

 l'equation precedente, en font respectivement disparaltre les deux premiers 

 termes. 



Dans ces conditions, si Ton remarque qu'il est indifferent d'ajouter, sous 

 le signe J , au premier facteur le terme nul + AZ, et au second le terme 

 nul — BU, on voit que f expression 



est une solution de (E). 



