482 ACADEMIE DES SCIENCES. 



On reconnait aisement que le domaine fondamenlal du groupe modulaire 

 de Vanneau est defini, dans le demi-espace £, yj, t de Poincare, par 



T > 0; ?!+Y) >H-x'J.; -i<g<I; -&<*<£. 



Ce pentaedre, (D, outre un sommet a l'infini, en a quatre dans le plan t = o. 



On dira qu'une forme d'Hermite de l'anneau i \/3 est reduite si son point 

 representatif appartient a CD. 



Les reduites qui admettent d'autres automorphies que les deux evidentes 

 x — ex, y' = ejk, (c = ± i) ne peuvent etre que celles dont le point repre- 

 sentatif est sur une arete circulaire de <fi, ou sur Tare y, section de la face 

 spherique £ a + Y] a h- t 8 = i par le plan 5 = o. On voit de suite que pour une 

 reduite (a, 6, b oy c), propre (a et c non pairs a la fois), le representative 

 peut etre sur unedes aretes circulaires; reste done le cas ou il serait sur y. 

 En posant6 —b\4- i\ftb 3 , on aurait alorsa = c, b i — o i i\b 2 \ <a; de plus, 

 a est impair (forme propre) . 



Le nombre des reduites de discriminant A, ayant leur representatif sur y, 

 est done celui des solutions entieres, a, b 21 de 



Pour ces reduites, il y a quatre automorphies (k= 4)> a savoir x' = ex, 

 y = sy et a?' = £j, y = — tx, (e = ± i). Or il est facile d'obtenirle nombre 

 des solutions de (2). 



Dirichlet, en effet, dans son Analyse classique, a rencontre les solutions 

 de 

 (3) A = a*-3b\, avec « > o, 6 2 >o, 2& 2 <«. 



En s'appuyant sur l'identite 



a^~Zb\~{ia _36,)»— 3(«— aft,)% 

 on voit que les solutions (3) ou a est pair sont en meme nombre que celles ou 

 aestimpair; on enconclut facilement (meme dans le cas ou Aestcarre)que 

 le nombre des solutions (2) est egal a celui des solutions (3), e'est-a-dire, 

 d'apres Dirichlet, a la somme 2 (l)' Vendue aux diviseurs d, de A. 



Dans tout cela on suppose A premier a 6. 



1. Expression de 3C(A). — De ce resultat et de l'expression (1) de flfc(A) 

 (Vest-a-dire de 2^)' on d eduit immediatement celle de oe(A), nombre 



