SEANCE DU I er MARS 1920, 483 



des classes d'Hermite (anneau *\/3), primitives ou non, mais propres, de 

 discriminant A, premier a 6, 



les S portant sur les diviseurs d, de A. 



3. Corollaire. ~ En repetant mot pour mot ies raisonnements fails au 

 n° 4 de la Note de 1919 precitee, on deduit de la la formute suivante : 



Soit ^>/ ( (N) le nombre des reduites binaires el positives (a, b n c) de Gauss, 

 de discriminant N, primitives ou non, mais propres, pour lesquelles le 

 minimum u (c'est-a-dire le coefficient a) est = 2/*, en designanl pai ' k un 

 entier^o : si jjl = 2/*, la reduite compte, dans ^.(N), non pour une, mais 

 pour une demi-unile', on aura 



(5) a> (A) 4- 2$, (A + 3. i 2 ) + . . .+ 2$,,(A 4- 3 A 2 ) + ... — 3C(A), 



A etant un entier positif quelconque, premier a 6, et 3t(A) etant donne 

 par (4). 



Au premier membre de (5), h est limite naturellement, c'est-a-dire qu'a 

 partir d'une certaine valeur de h, tous les $ A (A -+- 3h' 2 ) sont nuls. Le resultat 

 precis est ici moins simple que pour les corps i\2. et 1 (Note precitee), 

 parce que ® a des sommets dans le plan t = o. En discutant les relations 



on arrive, A etant impair, a l'inegalite h< 7 (A 4- 1), c'est-a-dire que 

 depasse A 4- 1, les $ A (A + 3A 2 ) sont tous nuls. 



*. Extension. — Dans certains cas, on peut affirmer a priori que le 

 nombre k des automorphies est deux, pour toutes les classes de discrimi- 

 nant A, dans le corps (ou l'anneau i \ P). II est clair, en eftet, que si, pour 

 une forme, on a ^>2, le representatif est sur Yaxe d'une substitution 

 dliptique du groupe modulaire i\j¥. Or, d'apres M. Bianchi ('), ces substi- 

 tutions elliptiques \z,(qlz-¥- $) : (yz 4- 0) |, ou ao - fiy = i, sont de deux 

 especes, repondant aa + o=oouh + o = ±i. 



(') Math. Annalen, t. 40, 1802. p. 353. 



