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Premiere espece. — a + o = o et a 2 -+- (3y = — i . Les points doubles z { et 

 z % sont, dans le plan - = o, les points **""* . 



Les formes d'Hermite dont le representatif est sur la demi-circonference 

 de diametre z, z 2 , orthogonale a t = o (axe de la substitution), sont les 

 formes 9 : 



o^Xrb[- A r-(a4-0j]-hpL^[ y; r-(a-07], 

 le symbole sn, designant une norme, et X, p. des constantes arbitrages. 



Pour que 9 soit une forme du corps ou de Yanneau i\jV [selon que 

 P== 1, 2 ou 3 (mod 4)], il faut et il suffit que X -+- u. = q, X — ja = ry/P, 

 <7 et r etant des entiers ordinaires, ou des fractions, telles alors que les 

 coefficients de 9 soient entiers du corps ou de l'anneau. On a ainsi 



o = ft.qx*.— y,[«q + nVP]^ J - y[a ? - r/YP]*y 

 4-[^(«« +0~«(«--*fl)'*V^]jyoi 

 a etant le conjugue de a, etc. 



A cause de l'homogeneite en q et r, on a le droit de supposer^et rentiers 

 (ordinaires) et premiers entre eux, sauf a multiplier 9 par un entier ordi- 

 naire A. Exprimons alors que le discriminant de la forme 9 : A est A, c'est-a- 

 dire que celui de 9 est AA 2 , on a 

 (6) AA* = yy,(?*-Pr»). 



Je dis que, par (6), A est rendu quadratique de tout facteur premier im- 

 pair cr, de P, premier a A. 



La proposition est evidente« cr ne divisepas A, car, en posant 



on a 



yy == y\ mod sr. 



Si ts divise A, il resulte de (6) que gt divise y,y; alors, en prenant (6) sui- 

 vant le module cr a , on voit que ts ne peut diviser q sans diviser y, ; de la 

 deux cas : 



i° vs divise y, el nonq. — En mettant en evidence les plus hautes puissances 

 de xs dans A, y,, y 2 , P (A == gj«A/, ...) et divisant les deux membres de (6) 

 par gt 2 ", on obtient une equation qui donne de suite ( — ) = + 1 ; 



2 xs divise y f e/^r. — On obtient de meme une equation qui donne (— ) = l • 



