SEANCE DU I* r MARS 1920. 485 



Mais de a 2 -4- (fy = — 1, on deduit facilement ( — - j == + 1, et, par suite, 

 enfin, (-) = H- 1. c. q.f. d. 



Deuxieme espece. — a ■+• = e, ( [z = ± 1) ; a (e — a) — JBy == 1 . Les points 

 doubles z K et z % sont, dans ^ = 0, les points 2 *~ £ — *v f et> p 0ur j es 

 formes d'Hermite dont le representatif est sur Yaxe de la substitution, 



o =--2yy qxx -y [q (20c - e) + n^K;- . . . 



-+■ |9[2a« — e(a + a ) + 2] — «VP(«-«o)'-ixro. 

 le terme en #j etant le conjugue de celui en x y. 



Ici encore, q et r peuvent etre regardes comme des entiers ordinaires, 

 premiers entre eux. 



Jedis que 9 est de I'ordre impropre : les coefficients extremes etant evi- 

 demment pairs, il suffira de montrer que les coefficients moyens ne sont pas 

 divisibles par 2. S'ils l'etaient, on en conclurait facilement que Yj + Pfl 

 est pair, d'ou y, = Py 2 (mod 2). 



Mais de a(s - a) - [fy = 1, on tire 



d'ou, par suite, 



P« 2 -Py 2 ((3 1 + (3 2 )-i et « t -y s (p l + P(a t )3o(mod a >, 

 congruences impossibles ou contradictoires, que P soit pair ou impair. 



5. Conclusion. — Dans le corps ou l'anneau* v P fselon que P = i, 2 

 ou3(mod4)], une forme d'Hermite positive, primitive ounon, maispropre, 

 de discriminant A, n'admet que deux automorphies (k = 2), quand A nest 

 pas residu quadratique de tous les facteurs premiers impairs de P. 



Si done 3e (A) est le nombre des classes d'Hermite positives, primitives 

 ou non, mais propres, du corps ou de l'anneau *\/P, d e discriminant A, 

 on a ft (A) = 20K,(A) et, d'apres une Note precedente ('), si A n'a avec P 

 aucun facteur premier impair (> 1) < 



>-inHV)3 : "'(^) 



(') Comptes rendus, t. 170, 1920, p. 354. 



