SEANCE DU I Pr mars 1920. 507 



est convergente si f(x) est une fonction, positive a partir d'une certaine 



ellement decroissante et tendant vers zero quand ; 

 augi 



mente indefiniment. 



Je vais demontrer qu'on peut decider de la convergence de cette serie 

 dans certains casplus generaux. Supposons que la fonction f(x) tende vers 

 zero quand x augmente indefiniment et qu'elle admette, pour x>a, une 

 derivee continue d'un certain ordre, soit d'ordre m, telle que l'integrale 



f\fW{*)\dz 

 soit convergente. Dans ces conditions, la serie 



sera uniformement convergente dans Vintervalle x> a. En efTet, soit E v (.r) le 

 polynome qui satisfait a Tequation 



Soit E v (a?) une fonction periodique definie par les deux 

 vantes : 



p etant un entier positif quelconque. On le demontre aisement en integran 

 par partie dans le dernier terme au second rnembre. Nos hypotheses relati- 

 vement a la fonction /(a?) entrainent que 



C'est ce qui resulte d'un theoreme de MM. Hardy et Littlewood («). 

 Gela pose, nous faisons tendre/? vers Tin fini dans ['equation (2). Le second 



