ACADEMIE DES SCIENCES. 



MECANIQUE RATIONNELLE. — Sur un theoreme de A. Liapounoff. 

 Memoire de M. Alfred IVosexblatt, presentee par M. Appell. 

 (Extrait par l'auteur.) 



1. Le celebre mathimaticien russe, A. Liapounoff, a demon tre le theo- 

 reme suivant (') : 



« Parmi tous les corps homogenes dont les points s'attirent en raison 

 inverse du carre de leur distance, et qui ont le meme volume ©, la sphere 

 sea/e a la plus petite energie potentielle, toutefois, dans Vhypothese qu 1 il 

 existe une figure determinee pour laquelle le minimum de I'energie poten- 

 tielle est atteint. » 



Par energie potentielle d'un corps K, on entend le produit par — i de 

 Tintegrale 

 (i) J = ^-fvdr, 



V etant le potentiel du corps en un point a/,y', s' et dz etant l'element 

 d.vdydz du corps. La densite du corps est supposee egalea i. 



Liapounoff suppose que le corps pour lequel le minimum de I'energie 

 potentielle est atteint est un corps d'equilibre, c'est-a-dire que le poten- 

 tiel V du corps est constant a la surface. II montre alors qu'aucun corps 

 different de la sphere ne peut donner de minimum absolu. 



II montre aussi, dans le deuxieme des deux travaux cites, que la sphere 

 donne, en effet, un maximum de I'integrale (i), si on la compare aux corps 

 suffisamment voisins. 



Liapounoff se sert, dans sa demonstration, des proprietes d'une couche 

 simple (couche electrique), etalee sur la surface S du corps en question et 

 sans action en un point interieur du corps. II se sert done des moyens de 

 la theorie du potentiel newtonien. Ensuite, il suppose que, parmi toutes les 

 surfaces du corps K qui entrent en comparaison, la sphere possede la plus 

 petite surface. Or, on sait que cette propriete du minimum de la sphere n a 



(') 6«r la stabilite des Jig u res ellins- < fairs ■/', .jail: hi <■ d'un tu/ui<(e annm 

 mouvement de rotation (Annates de la Faculte des Sciences de Toulouse. 19" 

 Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre 

 masse fluide en rotation (Memoires de V Academie / niperiale des Sciences de i 

 Petersboirg, 1908). 



