*»w=^fn[-(=*)i]-2-(=^). 



le produit portant sur les diviseurs premiers impairs (> i), m, de P, et la 

 somme sur les decompositions A = dd' oti d est impair. 



5. Remarque. — Dans (S), les A,, A 2 , . . . peuvent etre dellnis com me les 

 ideaux du corps ?'yP associes aux reduites binaires et positives de Gauss, 

 ambigues, de discriminant P, propremenl primitives si P 1,2 (mod 4)? 

 improprement si P = 3 (mod 4)- Le nombre de ces reduites est toujours 2*"'. 



6. &w </e VanneauisjY. — On definira encore par les (S) le groupe 

 etendu correspondant, en designant cette fois par A,, A 2 , ... les ideaux du 

 corps i\/P associes aux reduites de Gauss ambigues, propremenl primitives, 

 de discriminant P; A, u.,v,p sont toujours des enliers de A (done de 

 l'anneau), verifiant Xp — u.v = ,%A. 



Donnons 1111 exemple pour montrer la difference, au point de vue du 

 groupe etendu. entre le corps el Tanneau i\/P, en prenant P = id. 



Pour le corps, les reduites de Gauss ambigues improprement primitives, 

 de discriminant i5 sont (2, 1, 8) et (4, 1, /[); les ideaux associes _sont 

 A, = 1, A.,= ( 2, ' + 3 )'> dans A, , les A, a, v, p ont le type x -h -- + ^ ^> 

 avec a?,y enliers ordinaires et Xp — [xv = 1 ; dans A 2 , ils ont le tvpe 



PourVanneau, les reduites de Gauss a considerer sonl( i,o, 1 ">)et(3,o, j», 

 d'ou A', = 1, A' s = (3,iV'T5); dans A' t , les A, a, v, p sont x-his/i^JTi 

 Xp — u-v = 1 ; dans A',, ils sont 3a? 4- 1 y 1 5 r, et Ap — uv = 3. 



Dans le cas general, les formules ci-dessus (n°4) subsislent, avee 

 cette nouvelle definition des (S), e'est-a-dire du groupe etendu; dans la 

 premiere formule, I,, I_,, ..., I,, sont les ideaux associes aux reduites de 

 Gauss, proprementprimitives, de discriminant P; quanta /, c'estle nombre 

 des facteurs premiers de P. 



7. Comme verification, appliquons les formules fondamentdles a P=o, 

 A = 1, t == 2. La seconde donne M t (1) = -J; la forme xx 9 4- vv„, qui admet 



