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dans lesquelles -| est une fonction de - dont je donnerai les expressions et 

 les limites pour les valeurs de — croissant de o a « et selon que i>z v , 

 ou i < i' . 



GEOMETRIE INFINITESIMALS. - Stir une propriete caractenstique 

 des congruences qui apparliennent a un complexe lineaire. Note 

 de M. C. Guichard. 



J'emploierai les notations suivantes : Je designe par C le premier foyer, 

 par Die second foyer d'une congruence rapportee a ses developpables; 

 par C, C, y . . . les reseaux deduits de Cpar la methodede Laplace effectuee 

 en allant de p vers m; par D n Do, ... les reseaux deduits dc D en allant de 

 . u vers v. 



Si la congruence CD appartient a un complexe lineaire G est le pole du 

 plan CDD,, de meme D est le pole du plan DCC,. Je suppose que v varie, 

 la droite qui joint deux positions infiniment suivies de G est la droite CC 4 .; 

 la droite d'interseclionde deux plans CDD, infiniment voisins est, d'apres la 

 theorie des tangentes conjuguees de Dupin,la droite DD, ; il en resulte que 

 les droites CC, et DD, sont conjuguees par rapport au complexe. Or, 

 lorsque v varie, la droite CC, decrit une developpable dont le plan oscula- 

 teur est le plan CC, C 2 ; la droite DD, touche l'arete de rejjroussement de 

 la developpable qu'elle engendre en D, ; done D, est le pole du plan CC, C 2 , 

 d'ou le resultat suivant : 



Le point D, est dans le plan GC,C, et le point C, dans le plan DD, D 2 . 



Par consequent, la droite C,D, decrit une congruence (non rapportee, 

 en general, a ses developpables) qui a pour foyers G, et D, et pour plans 

 focauxles plans CC, C, et DD, D,; cette droite rencontrant les deux droites 

 conjuguees CC, et DD, appartient au complexe. 



Je dis que la propriete indiquee est caracteristique, e'est-a-dire que si 

 C, est dans le plan DD,D 2 et D, dans le plan CC, G 2 , la congruence CD 

 appartient a un complexe lineaire. [J'exclus le cas ou C, coincide avec Dj 

 et par suite D, avec C 2 .]. 



Pour etablir celte reciproque j'cmploie la methode du tetraedre mobile 

 qui a ete inlroduite par M. Demoulin. Jedesigne par(E,,L, H,, E.,) les coor- 

 donneeshomogenesdeD; par (•/],, -/] 2 , y) 3 ,yj 4 )cellesdeC;par(X 4 ,X„X„X, I 

 celles de D, ; par (V l ,Y 2 ,V ;1 ,Y, ) )celiesdeC l .Enchoisissantconvenableinent 



