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J'appelai aussi famille derivee d'une famille F additive d'ensembles relativement a 

 une fonction / additive sur cette famille F une certaine famille F' qui comprend non 

 seulement F , mais tous les ensembles qui sonl sous-ensembles d'ensembles appartenant 

 a F et sur lesquels la variation totale de F est nulle. 



On en deduit aussi une sorte de « prolongement » de / de la famille F a la 

 famille F'. 



Ceci etant, le resultat obtenu par M. Sierpinski peut s'enoncer ainsi : 



Les ensembles mesurables au sens de M. Lebesgue forment la famille 



complete F' derivee de la famille F des ensembles mesurables (B); la mesure 



au sens de M. Lebesgue est la fonction additive d' ensembles qu on obtientparle 



prolongement de la mesure definie sur les ensembles mesurables (B). 



Dans cet enonce, les mots « famille complete derivee » et « prolon- 

 gement » doivent etre entendus an sens precis indique dans mon Memoire. 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur lesfonctions de I* hypercylindre parabo- 

 lique. Note (*) de M. Pierre Humbert, presentee par M. Appell. 



La fonction D„ (z) dite du cylindre parabolique, apparail dans la ques- 

 ion saivante : Si dans Fequation de Laplace AV=o a trois variables on 

 ait le changement 



qui introduit comme surfaces coordonnees les plans horizontaux s — C et 

 les cylindres paraboliques a generatrices verticales w = C, v = C, on 

 obtient une equation differentielle du second ordre, dont une solution est 

 donnee par 



V = co*m*D B («v/^) D_ rt _, WZZ), 



la fonction D n (3) etant solution de Tequation differentielle 



Cette equation etant un cas limite de l'equation hypergeometrique de 

 Gauss, la fonction du cylindre parabolique peut etre rattachee a la fonc- 

 tion de Gauss. Nous nous proposons de montrer comment le probleme 

 analogue, dans l'cspace a quatre dimensions, peut egalement etre resolu 



