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Remarquons que, pour r — o, v = -> on est ramene a l'equation unique 



qui est l'equation differentielle verifiee par la fonction W A(X (a;) intro- 

 duite par M. Whittaker (') comme cas limite de la fonction de Gauss. 

 Par analogie, nous designerons W A%EJl)V (x,y) la solution des equations (3) 

 qui se reduit a W A . AX (.r) pour y = o, v = - • 



Faisons alors dans cette fonction tres generate k = o, u. = v = —, et 

 remplacons x et y par —> — ■ On trouve aisement que la fonction 



verifie l'equation 



et l'equation analogue. Posant alors 



xy »^-i\ a 2 J 



nous verrons que U verifie les equations 



'+*(— j)-"+ (--- ?)- 



et par consequent aussi l'equation unique obtenue en ajoutant ces deux 

 equations, et qui n'est autre que l'equation (2). On voit ainsi comment les 

 fonctions de l'hypercylindre parabolique se rattachent auxfonctions hyper- 

 geometriques de deux variables. L'equation de Laplace ou Ton fait le chan- 

 gement de variables considere admetdonc des solutions du type 



