SEANCE DU 8 MARS 1920. 567 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur un probleme d' iteration. 

 Note ( ' ) de M. Renaux, presentee par M. Appell. 



L'etude des singularites des fonctions fondamentales, qui proviennent 

 d'equations integrates a noyaux imaginaires et relatives a des contours 

 fermes, est extremement complexe. Mais, avec certaines restrictions concer- 

 nant ces contours, on est alors conduit a une iteration toute speciale, sujet 

 de cette Note. 



Soit z — o(m), une fonction de u, uniforme dans tout le plan et conside- 

 rons l'equation definie par 



(0 |?(l • ( - ? (i/)]:(U-«) = o. 



Theoreme I. — Si, pour une valeur u = u t , V equation ( 1 ) admet une suite 

 U, , U 2 , U A , ... de racines en nombre fini ou infini ( infini lortque z, possede un 

 ou plusieurs points essentiels), chaque racine etant repetee aidant de/ois que 

 Vindique son degre de multiplicite, etsilon pose U = U A , liquation (i)enu 

 admet comme racines la suite pre'cedente oil une seule des racines egales it 1 \ 

 est remplacee par u { . 



En general, les racines U sont simples, sauf lorsque la suite des racines U 

 comprend une ou plusieurs valeurs £ telles que la derivee ?'(^) = o; «, est, 

 soit une racine £, soit une racine I de l'equation (1) en u ou Li est egale a 

 une racine I. Sous certaines conditions, il peut exister des racines simples l, 

 points critiques effectifs des determinations de la fonction U definie par (1), 

 qui jouent un role extremement important dans notre probleme d'iteration. 



Astreignons maintenant <p(u) a etre de la forme w[i -h K w )}» ^(")^ tani 

 developpable en serie de puissances positives de - . convergente pour | u \ > R . 

 A chaque cercle |w| = p = const. correspond, pour z } une courbe de 

 niveau qui nc se coupe pas elle-meme des que p est superieur a une certaine 

 valeur c >R. En vertu des proprietes de la representation conforme ,nous 

 en neons : 



I m Dm mf. IT. — L'equation (1) ne peut pas avoir de racines U a I'exterieur 

 du cerde \u\— p 0f lorsque la variable u est elle-mSme a Vexterieur. Une seule 

 possible si u est a linterieur du cercle. Cela pose, 



