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remplacons, dans l'equation (i), U et u respectivement par pV et^; on 

 fait ainsi correspondre a Tancien cercle de rayon p un cercle de rayon f. 

 La nouvelle equation definit une suite de determinations V ou substitutions, 



fonctions de v, a savoir F, (*>),F 2 (>), . . ., F*(V), Notre probleme d'ite- 



ration est le suivant : Etant donne un point v quelconque, on prendle syme- 

 trique v' de v par rapport a Vaxe Ox des quantites reelles et Von applique a v' 

 toutes les substitutions F ; on prend par rapport a Ox les symetriques de tons 

 les points ainsi obtenus el on leur applique toutes les subtitutions F et ainsi de 

 suiie. On se propose d'etudier la repartition de tous les points apres un nombre 

 fini ou infini de semblables operations. 



Pour eviter ici certaines longueurs, nous enoncerons les resultats 

 lorsque Ton prend pour 9(1/) une fraction rationnelle. On obtient une 

 decomposition relativement simple de l'interieur du cercle y de rayon 

 |«| = 1, symetrique par rapport a Ox, en appliquant d'abord a ses points 

 toutes les substitutions F. II en resulte un ensemble y, de courbes fermees 

 en nombre fini, auxquelles on applique encore le procede d'iteration ci- 

 dessus indique. En operant de proche en proche, on obtient des ensembles 



de courbes y,,y 2 , ...,y„, L'ensemble y„, n> 1 delimite un domaine(y„) 



interieur a y„, qui peut etre compose de differentes aires ne se repliant pas 

 sur elles-memes et n'empietant pas les unes sur les autres. Cette propriete 

 est une consequence du theoreme II. De plus, tout Tensemble y„, n>i 

 est interieur a y„_, et sans point commun. Si Ton designe par (y„-,,y„) le 

 domaine a l'interieur de y n _, et exterieur a y„, notre procede d'iteration 

 donne les points du domaine (y„, y ft+ , ). Quand n augmente indefinimenl, on 

 obtient un ensemble T qui jouit de la propriete d'etre reproduit quand on 

 applique a son symetrique toutes les substitutions F. La composition de T est 

 tres complexe et depend essentiellement de la position de certains points 

 critiques. On peut avoir exclusivement un ensemble infmi et discontinu de 

 points; mais egalement soit un ensemble infini de points et de domaines, 

 soit un ensemble infini de points, de lignes et de domaines, soit un ensemble 

 infini de domaines. Nous designons plus particulierement par T la frontiere 

 en y comprenant les ensembles infinis de points et par (F) tout Tensemble. 



Appelons y_,, y_ 2 , . . ., y_„, . . ., 1 : Y, (1 : T) les figures inverses de y,, 

 Yi> ••• ) , i / n» •••>!% (T), par rapport au cercle y ; nous obtenons ainsi une 

 decomposition de l'exterieur du cercle y , mais les resultats de notre itera- 

 tion sont moins simples que pour son interieur. Considerons l'interieur 

 du domaine (y„) delimite par y n , l'inversion lui fait correspondre un 



