S&A.NCE DU 8 MARS 1920. 56o, 



domaine (y_„) qui sera dit Yexterieur de y_ w . Prenons un point c dans (y_„ +t , 

 y_ w ) exterieur a y_ 7H _, et interieur a y n et appliquons-lui notre procede d'ite- 

 ration. Une seule substitution donnera un point de (y_ n4 _,, y_ n . M ), tandis 

 que les autres substitutions donneront des points de (y»_,, y„). Proprietes 

 analogues en ce qui concerne les frontieres de (y_„ +) , y~«). 



De meme, notre procede d'iteration applique a un point de 1 : T ou (r : F) 

 donne, par une seule des substitutions F(e), un point de 1 : F 011 (1 : P), 

 tandis que les autres substitutions reproduisent des points de F on (T). 



Ces resultats etant signales, nous allons indiquer une certaine recipro- 

 city dans les resultats qui concernent d'autres substitutions introduites 

 ainsi. Remplacons dans le developpement de la fonction |(«), ci-dessus 

 definie, les coefficients imaginaires respectivement par les imaginaires con- 

 juguees et considerons les fonctions/,(c),/ 2 (V), .'.., /*(V), • • • inverses des 

 substitutions qui se deduisent des substitutions F(r) par le changement du 

 signe de /dans les coefficients imaginaires. Operons com me precede m men t 

 par une symetrie par rapport a 0.r, suivie d'une application des fonc- 

 tlons f(v). Aux points du domaine (y_ B+l , y_ B ) correspondent les points 

 du domaine (y_„, y_„_,). 



Le procede operatoire applique a (1 : P) reproduit (1 : T); au contraire, 

 applique a (P) il donne un seul point de(P), les autres appartenant a (1 : T). 

 En ce qui concerne le domaine (y„_,, y„), proprietes analogues a celles qui 

 concernaient le domaine (y_ a+ . n y_ B ), maisavec les substitutions F(e).Toutes 

 les proprietes enoncees sont des consequences des tbeoremes I et II. 



Ce qui fait Timportance de cette iteration, e'est qu'elle est intimement 

 liee, pour le cas de la fonction o(it) precedemment definie, a la recherche 

 des singularity des fonctions fondamentales interieures et exterieures au 

 cercle y et solutions de certaines equations integrates a noyaux imagi- 

 naires et rattacbees au meme cercle. 



analyse MATHEMATIQUE. — Sar une application des denvees generalities 

 a. la formation et a /'integration de certaines equations differ entielles 

 lineaires. Note (' ) de M. J. Kampk de Febiet, presentee par M . P. Appell. 



I. Etant donnee une fonction f{x) = ^-* y(x) |p>o et <?(x) holo- 

 morphe dans le domaine de l'origine], on pout definir sa derivee genera- 



