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Usee D (/, y(.r), quel que soit le nombre reel A, par les relations suivantes : 



(.) D -->)/( > = r ^ j'\i-t)'-\f{*t)dt (>.>o), 



DW/(*0 ==/"(*■)> D a >/(*) = 353 [lJ () - / ' ) /(^)] (>• > o, k - /. > o), 



et les fonctions D" ; et D (_ '° (« cntier positif) coincident respectivementavec 

 la derivee « ieme et l'integrale de/(\r), prise « fois deoa x. On sait que les 

 proprietes de T>^''\f(x) relatives a ses singularites (distribution et nature) 

 se deduisent trcs simplement de celles def(x:) (idenlite des etoiles princi- 

 pals, liaison entre Tordre des points singuliers, etc.). Mais je voudrais 

 signaler une propriete d'un autre genre, qui trouve une application naturelle 

 dans plusieurs des fonctions classiques de V Analyse, notamment les/orcc- 

 tions hypergeom&riqueSi leurs generalisations et leurs degenerescences. 



II. Soil (i(cc) unefonction, nulle. a I'origine, ainsi que ses p — 1 premieres 

 derivees ('),' solution de V equation differentielle 



P y „ P/,_, , . . ., P designant des potynomes de degre k p , £ y ,_, , . . ., k ; si n est le 

 plus grand des entiers de la suite — p -+- X ;) , — p -4- 1 + />_,, . • ., ^ > lafonc- 



j(aO = D;->-"<„(*) 



re'ri/ie uric equation lineaire ( :' !, d'ordre n -hp, donl les coefficients sont aussi 

 des polynomes ; on obtienl (£') enprenant la derivee D ; ~ >; de(c). 



Pour dernontrer cette proposition, il suffit d'appliquer a chacun des 

 termes de (c) la formule suivante (on R q designe un polynome de degre q) ' 



D<^>[R,(*)/(*)]:=2(— i)*I^^ 



puis d'y remplacer D {->_ " [u [fi) ] par D l/s ~ l - tl) u = y A ; cette interversion des 

 symboles DH*) et — k est legitime ici, car dans la relation generate 



(') Celte restrict 



