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Le nombre V* m est un polynome en m de degre 2.? qui s'annule pour rn<s. 

 Nous lui imposerons, pour ces valeurs, une valeur non nulle qui sera celle 

 de sa derivee par rapport a m. Nous designerons par \ s m les nombres definis 

 par (6) et par T s m ces nombres encore ou leurs derives. Le derive P est le 

 rapport change de signe du nombre de Bernoulli B s a son indice. Les 

 nombres d 'indice superieur s'expriment en fonction de ceux-ci par la 

 formule 



d'ou l'expression (symbolique) 



iF,„(^) = 2r^=*,„(*)T (x). 



Nous avons etabli (' ) la relation ou (a) == £_±_li 



(8) />(^)(r-^-')^' (^) = (^)(i-^/'- 1 )l A Loo(,_^-i) (mod/^i). 



On verifie que VJ, est congru a p, sauf VJ=i et VJ" 1 = f-i\. Posant 

 1 — xp~ k — a, $ m (x) — a == (3 est congru a p. Developpant alors ^ /)+<T (^), 

 nous obtenons, par un raisonnement caique sur le precedent, pour 

 l'expression 



^(-•^ 

 un developpement telque le terme de ce developpement qui est congru kp m 

 •est de degre m + Ten A, supposant verifiee l'inegalite 



done la difference (m -h-) 1 *"' 6 de ce rapport, les differences portant sur X, 

 est congrue a//". 



Developpant de meme l'expression W^ p+rj (.x), et appliquant la rela- 

 tion (8), nous obtenons pour l'expression p ■^■ 4 " T WH-a ' ; — un developpe- 

 ment identique (modp^ 1 ) a celui de l'expression (9). D'ou decoulent des 

 conclusions identiques aux precedentes (I) pour les differences portant 

 sur A seul. 



On peut demontrer que, pour m = i ou 2, les memes conclusions 

 s'appliquent a l'expression plus simple — !V+ff , , les differences portant alors 

 soit sur A, soit sur it. 



