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derons ici : dans les exemples de M. Painleve ou dans des exemplesvoisins, 

 des points materiels sont infiniment proches Tun de l'autre, puis s'ecartent 

 a distance finie ou s'eloignent indefiniment, pour devenir a nouveau infini- 

 ment proches, et ainsi de suite une infinite de fois dans un intervalle de 

 temps arbitrairement court. 



D'aulre part, failure du mouvement dans le probleme des trois corps, 

 quand le temps croit indefiniment, allure qui resulte des travaux de 

 Poincare sur la stabilite a la Poisson, n'est pas une circonstance beau- 

 coup moins inattendue que redetermination dont nous supposons 

 Texistence a priori quand le temps s'approche d'un instant donne. 



Dans le probleme des trois corps, M. Painleve a demontre le premier 

 que, si les trois distances muluelles sont des fonctions holomorphes du 

 temps t jusqu'a I'instant T, ces trois distances lendent vers des limites 

 quand t tend vers T. D'ou les consequences : ou bien ces trois limites sont 

 plus grandes que zero, et le mouvement se poursuit regulierement apres 

 Tinstant T; ou bien l'une des trois limites ou les trois limites sont nulles, 

 et il y a a Tinstant T un choc de deux corps ou un choc des trois corps, 

 conformes a la conception vulgaire. M. Sundman a demontre par une 

 voie difterente le resultat obtenu par M. Painleve. 



Passons au probleme des n corps pour n > 3, et admettons que, quand 

 le temps t tend vers I'instant T, les n ( H ~^ distances mutuelles r ik sont 

 des fonctions holomorphes de t, et que certaines d'entre elles sont indeter- 



II est necessaire d'abord, selon une proposition classique de la theorie 

 des equations differenliellcs, que la plus petite des distances r ik , qui peut 

 n'etre pas toujours la meme, lende vers zero : par suite, la fonction deforces 

 U = ./ - ' r tend vers -h oc. D'apres 1'equation 



formee par Lagrange dans le probleme des trois corps, etendue par Jacobi 

 au probleme des n corps, et qui est a la base des tiavaux de M. Sundman, 

 la quanlile ^.mim k r~ k , dont la derivee seconde tend vers -h 20 quand I tend 

 vers T, tend vers une limit e finie ou vers -+- cc. 



Or, si certaines distances mutuelles sont indeterminees quand / tend 

 vers T, il existe necessairement une infinite d'inlervalles de temps lnhni- 

 ment courts, I, ou leswcorps sont separesen groupesde corps arbitrairement 

 voisins, ou les distances de deux quelconques de ces groupes restentsupe- 



