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Si Ton pose ^ — z, j, — z', et si Ton passe au groupe a une variable, 

 on retombe ainsi, aux notations pres, sur le groupe etendu qu'a fait 

 connaitre M. Bianchi ( ' ), sans d'ailleurs indiquer les idees qui l'ont conduit 

 a sa decouverte, et que MM. Fricke et Klein ont raltache ensuite( 2 )a celui 

 des substitutions semblables de la forme reelle xt — y 2 — Vz 1 . 



3. Pour P 2 (mod 4), le discriminant du corps etant — P, les ( S i se 

 reduisent aux seules (S,), ce qui est d'accord avec les formules de 

 M. Bianchi. Pour P^3(mod4), dans le cay de Vanneau i^P, on ne 

 trouve encore que les (S,) et, dans le cas du corps i\ P, on relomberait sui- 

 tes resuitals de M. Bianchi. 



4. Domaine fondamental de V. — Ici F est le groupe a une variable 

 forme par les substitutions I : 





011 A, X, u., v, p sont definis comme ci-dessus. 



M. Bianchi (loc. clt.), pour un certain nombre de valeurs de P, a forme 

 le domaine, ©', de V dans le demi-espace I, yj, t de Poincare, par la methode 

 des symetries, qui ne conduit pas necessairement au but. 



On peut toujours obtenir cQ', d'une maniere siire, par une voie indiquee 

 au Tome 169, 1919, p. 208, des Comples rendus. 



/*o«r p£=iou2(mod4), tD'est limite lateralement par les quatre plans P', 

 d'equalions ^ = ± -, q = dz~\P, et, inferieurement, par des spheres 

 ayant leurs centres dans le plan t = o, et definies ainsi : A, v etant les 

 valeurs des coefficients X et v relatifs a une 1, la sphere correspondante, 

 dite (X, v ), a pour centre le point -, du plan z = o, et pour rayon 

 \ }bA : w„, v„ designant I'imaginaire conjuguee de v. Or, les A, ja, v, p sont 

 entiers de A, soumis uniquement a Xs — ixv = JfcA : cette relation prouve 

 que les ideaux (a) et (v) ont A pour plus grand commun diviseur; recipro- 

 quement, s'il en est ainsi, on peut, dans A, trouver \x et p tels 

 que Xp -uv = ^A. 



En d'autres termes, A etant donne, les spheres (X, v) sont celles de 



(') Math, Annale/i, l. k% 1S9;}. 



(*) Fonctions automorp/ies, t. 1, p. 58o. 



