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m designe une constante reelle; pour chaque valeur reelle de [jl, S, est 

 reelle et peut s'appliquer physiquement sur la totalite ou une fraction de S, 

 les paralleles correspondants etant donnes par la merae valeur de t. Pour 

 une valeur imaginaire pure de (x, S 4 est encore reelle, comme on le voit 

 en donnant a / une valeur imaginaire pure et Ton retrouve une correspon- 

 dance de point imaginaire a point reel. 



2. J'ai obtenu des exemples analogues avec des surfaces non susceptibles 

 de s'appliquer sur une surface de revolution, par exemple : 



*/i am 3 



^-^"(p + TPT + l 



(4) <&=Qt*(i + 5mn*dP+ 9 t\(i + h mt t\ydt\ 



+ i8< i ^(i + 5/»U 2 )(i + 5w,<|)^^ 1 . 



m et m K sont deux constantes reelles fixes; en donnant a a soit une 

 valeur reelle, soit une valeur imaginaire pure, on retrouve exactement les 

 memes circonstances de realite et application que dans I'exemple pre- 

 cedent. * 



3. Ces exemples, et bien d'autres que Ton peut donner explicitement 

 en nombre illimite, soulevent des problemes interessants dont j'ai aborde 

 une partie dans tin Memoire insere au Bulletin des Sciences mathemaliques. 



J'ai montre que si S et S< sont reelles et s'appliquent Tune sur l'autre, 

 point reel sur point imaginaire, S et S, admettent chacune une auto- 

 application; si S et S, sont reelles et si S s'apptique physiquement sur une 

 fraction de S,, et non la totalite de S n S est necessairement auto-appli- 

 cable et possede une ligne de rebroussement G dont chaque point reste 

 invariant dans celte auto-application, les deux nappes de S qui viennent 

 se raccorder le long de C s'echangeant l'uneen l'autre; dans le transport de 

 S sur S n C s'applique sur une certaine ligne C, de S 4 , qui ne presente 

 aucune particularity sur S, prise isolement; cette ligne C { parlage S, en 

 deux regions dont l'une est recouverte physiquement en double [tar 3 et 

 dont l'autre n'est pas recouverte. Dans I'exemple des formules (3), 1 auto- 

 application deS ou S, prevuepar cette theorieest une symelrie par rapport 

 au plan yOz : changement de signe simultane de t et t t . 



