SEANCE DU 1 5 MARS 1920. 647 



Les auto-applications d'une surface peuvent tenir a deux circonstances : 

 ou bien le ds 2 = E du 2 -+- 1 ¥du dv -+- Gdv 2 conserve la meme forme par 

 une substitution u = /(«,, *v), c = («„ f,), et la theorie deja acquise des 

 surfaces applicables nous permet de trouver toutes ces substitutions quand 

 le ds 2 est donne ; ou bien les coordonnees x, y, z sont des fonctions multi- 

 formes de u, p; pour chaque systeme (u, v), les divers systemes (x, y, z) 

 donnent diverses regions de S applicables les unes sur les autres. Or cette 

 circonstance n'est pas mise en evidence par le seul ds 2 . Dans l'exemple (3) 

 les symetries x O z et x Oy tiennent a cette circonstance. D'autre part, un 

 nouveau choix de parametres peut evidemment changer le caractere d'une 

 telle circonstance. Dans l'exemple (3), si je prends comme nouveaux para- 

 metres T = t 2 etT, = j? un calcul, tres simple si Ton remarque que 

 *, = i, T, et tt f =TT montre que Ton a 



ds* - A dl* + 2 B dl dT , + G d T \ , 



ou A, B, C sont des polynomes entiers en T et T, ; la symelrie yOz, qui 

 tenait avec les variables I el t { a une transformation intrinseque du ds 2 , 

 tient avec TetT,a ce que la coordonnee a?elle-meme est devenue fonction 

 nonuniformedeTetT,. 



On deduit aisement de ce qui precede que, si S et S, sont applicables Tune 

 sur Pautre, point reel sur point imaginaire, et si S n'admet pas de ligne reelle 

 de rebroussement, toute surface reelle £ ayant meme ds* estnecessairement 

 auto-applicable; S pourra etre physiquement applicable surl'une des sur- 

 faces S, S, a l'exclusion de l'autre ou bien pourra n'etre physiquement 

 applicable sur aucune. 



Une autre circonstance peut se presenter : 2 pourra n'avoir aucune autre 

 auto-application, une region ex deS etant iecou\erte en double par S, une 

 region or, de S, n'ayant aucune partie reelle commune avec a, etant recou- 

 verte deux fois par S,. 



Ces exemples montrent bien les precautions a prendre avant d'affirmer 

 que deux surfaces de meme ds 3 se recouvrent physiquement. Je dois signa- 

 ler que le geometre russe Peterson avait deja signale les surfaces reelles 

 applicables point reel sur point imaginaire dans toute leur etendue, mais en 

 se bornant au cas ou I'une d'elles est reductible par deformation continue 

 a une surface du second degre (Voir Annates de Toulouse, 1903). 



