648 academie des sciences. 



GEOMETRIE. — Sur le groupe des transformations planes da. 



toute ligne droite reste droite. Note ( ' ) de M. Charles Rabut. 



Gomme on peut prendre pour coordonnees d'une droite sa pente 



et son ordonnee a l'origine 



*=xy'—y, 



le groupe est defini implicitement par les equations 



( Y'=F (/,*/-,,,',/', ...), 



| XY>-Y~F l (y>,xy>-y,y*,y", ..-), 



ou les fonctions F, F, sont arbitrages. 



Je vais etablir les equations explicites, les proprietes principales et les 

 expressions des invariants diflerentiels de ce groupe qui se presente dans le 

 probleme de la reduction des transformations de contact et que, pour 

 abreger, j'appellerai orthique. 



Derivant les equations (i), on a 



i Y' dX = rfF =p dt + gdn^Xp H- qx )fdx, 

 (2) { XY" dX = dV x ^ Pl dt 4- q t dn = (/>, -+- g t x)y"dx, 



°i QiPii Q\ etant des fonctions de <j, yj, d'ou 



f p-hqx *' 



equations explicites du groupe en coordonnees cartesiennes . X, Y, Y' 

 etant ainsi fonctions de a?, y, y\ on voit que toutes les transformations 

 orthiques conservent le contact. Gela ressort d'ailleurs de ['interpretation 

 directe des equations (i), car elles signifient litteralement qu'une orthique 

 re'sulte d'une ponctuelle (que j'appellerai adjoint e) pre'cede'e el suivie dune 

 meme polarile reciproque; or ces trois composantes conservent le contact. 

 Les equations signifient aussi que toute orthique est V image dune ponc- 

 tuelle dans une correlation. 



