SEANCE DU 1 5 MARS I920. 



THEORIE DES NOMBRES. — Sur les corps abeliens de degre premier. 

 Note de M. A. Chatelet. 



Dans une Note, deja aneienne ('), j'avais resume quelques resultats sur 

 les corps abeliens du troisierne degre. En essayant de les generaliser j'ai ete 

 naturellement amene a reprendre les raisonnements de MM. Weber et 

 Hilbert sur les corps abeliens et les lois de reciprocite. Ces raisonnements 

 se bornent, m'a-t-il semble, a obtenir des proprietes generates des corps, 

 et n'entrent pas dans le detail de la realisation de ces corps eux-memes et 

 de leur interpretation en langage arithmetique ordinaire. Sans les modifier 

 essentiellement je crois avoir pu les conduire un peu plus loin, et notam- 

 ment en tirer une consequence dont Tenonce est, pour ainsi dire, indepen- 

 dant de la theorie des corps de nombres. Dans cette Note, je me contente 

 d'indiquer les resultats; la methode n'est pas, comme je Tai dit, differente 

 de celle de MM. Hilbert et Weber, filiale, en somme, d'une methode deja 

 suivie par Gauss pour la loi de reciprocite quadratique. 



I. Tout corps abelien de degre premier impair n a necessairement un 

 discriminant de la forme (P)* - ' ou (V.P) n -' [P, produit de nombres pre- 

 miers differents et congrus a 1 (mod/i)]. 



A chaque nombre a d'un corps abelien, on peutfaire corresponds 71 — 1 

 « resolvantes de Lagrange j> : 



a x est le nombre conjugue de a, qu'on deduit de a = a par la substitution 

 qui fait passer de a a a„ repetee x fois; s est une racine n litmt de 1' unite; 

 3? est un entier, defini au module n preset la sommeSestetendueaw valeurs 

 incongrues de x. En prenant pour a un e/i^erconvenabie du corps abelien 

 considere, les R t - sont les racines /i i6n,es des n — 1 nombres tu,, ..., ©„_„ 

 conjugues d'un certain entier gf .m du corps des racines n i " am de I' unite; 

 G7 est defini au produit pres par une unite reel le, il a pour normeja" et est 

 congru a 1 (modn);/peut prendre toutes les valeurs o, i , . . ., n - 1 etces 

 valeurs correspondent a des corps differents, xs etant fixe. (On peut natu- 

 rellement remplacer m par un de ses conjugues, mais alors £ doit etre rem- 

 [>lace par le conjugue correspondant, de sorte que e'est Tassociation (gf .xs) 

 qui caracterise le corps.) Entin les R,-, irrationnels dans le corps des racines 



(') Comptes rendus, t. 152, 



, p. 1290. 



