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^iemes ^e l'unite, sont rationnels : dans le corps des racines P>«nes ? s iy est 

 nul, et alors le discriminant est (Py*-* ; dans le corps des racines (/2*.P) iime », 

 si/est different de o, et alors le discriminant est (w 2 .P) n -* ('). 



2. Je precise le nombre et la constitution des differents corps abeliens 

 ainsi obtenus, suivant les valeurs de P : 



A P^=I ne correspond qu'un seul corps abelien de discriminant (V)*~\ 

 obtenu enprenant dans le corps des racines (n 2 )^ mes de l'unite les « periodes 

 a (n — i ) termes de Gauss » . 



A P, produit de h facteurs premiers distincls, congrus a 1 (mod n), cor- 

 respondent^, {n — i)*-' corps abeliens distincts ( 2 ). Pour (n — i) A -' d'entre 

 eux, qu'on peut appeler de « premiere espece », le discriminant est (P) n ~\ 

 il y a dans chacun d'eux une base normale des ehliers, c'est-a-dire consti- 

 tute par les n conjugues d'un meme entier ( 3 ). Pour les (n— \) h autres 

 corps, qu'on peut appeler de « deuxieme espece », le discriminant est 

 (rt 2 .P) w ~ 1 , il n'y a plus de base normale, mais on peut obtenir une base en 

 adjoignant i a n entiers conjugues convenablement choisis, de somme 

 nulle (done non independants). Ces differents corps s'obtiennent en pre- 

 nant pour gt, correspondant a P, les (n~i) h - { produits des conjugues 

 des car correspondant respectivement aux h diyiseurs premiers de P. 



3. Dans un corps abelien de degre premier n, il n'y a que des ideaux de 

 degre i ou n, e'est dire encore que tout nombre premier q, ou bien est 

 indecomposable, ou bien se decompose en un produit de n ideaux premiers, 

 conjugues, distincts. Pour que ce second cas se realise, il faut et il suffit 

 que I'entier t s .xs soit congru a une puissance n ii:me , suivant le module q, 

 dans le corps des racines ^ me9 de l'unite (e'est ce qui avaiteteindique pour 

 n = 3, dans la Note citee). L'application du theoreme de reciprocite d'Eisen- 



(*) Ces proprietes des resolvantes de Lagrange, mais non ceiles du discriminant, se 

 trouvent dans YAlgebre superieitre de Weber (t. 2). L'auteur a surlout en vue la pro- 

 priety celebre de Kronecker, que tout corps abelien est inclus dans un corps de 



lines de l'unite, par s 





a tss les divers corps obtenus. 



(*) G'est par erreur que, dans la Note deja citee, il avait ete seulemeni indiqu^ 

 « trois » corps abeliens de degre 3, correspondant a chaque entier rationnelN; d 

 existe en realite 3.2 h ~ l corps (h nombre de facteurs premiers distincts de N). 



( 3 ) Gette existence d'une base normale a ete etablie, d'une facon generale, par 

 M. Hilbert, pour tout corps abelien de degre «, a discriminant premier avec n 

 ( M.'iuoire Sur les corps de nombres algebriques, publie par la Societe matliema- 

 tique allemande, 1897. Traduction francaise de MM. Levy et Got, i 9 i3). 



