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i° La fonction /(j?) admette, pouvx>a, une derivee continue d'u 

 tain ordre, soit d'ordre m, tel que 



£ etanl un nombre positif; 

 2° L'integrale 



soit convergente. Dans ces conditions, la serie (i) sera unifc 

 vergente dans I 'inter valte x>a. La serie n fois iteree 



(3) 2*"Z2 /(a?4 " a) 



soit Bi n) (a?) le polynome de Bernoulli (Comptes rendas, t. 169, p. 5ai- 

 524 et p. 608-610), d'ordre n et du degre v, soit W"\x) une fonction 

 definie par les deux conditions suivantes : 



B(«)(x) = B!/"(^), si o<^<w, + w 8 -+...+ w„. 

 On a la relation suivante : 



n t , p 2 , . .., p n etant des entiers positifs quelconques. Faisons tendre les p t 

 vers Finfini. On demontre sans peine que le second membre tendra unifor 

 mement vers une lirnite et Ton arrive ainsi au theorerne enonce. Soit en 

 particulier 



