SEANCE DU 22 MARS 1920. 717 



On voit que les series (1) et (3) convergeront, si 3c({J)>ti(i — a), et 

 divergeront si dc(?)</i(i — a). Si la fonction /(x) est positive a parlir 

 d'une certaine valeur de x et satisfait toujours a la condition i°, le theoreme 

 s'enonce comrne il suit : Pour que la serie (1) converge, il faut et il suffit 

 que l'integrale 



ait un sens. 



Supposons, par exemple, que 



Pour les valeurs positives et tres grandes de x, cette fonction est en 

 general du meme ordre de grandeur que x~ p_a ; mais, si x est le carre d'un 

 entier, /(as) est egale a x~K Du theoreme que nous venons d'enonccr, il 

 resulte que la serie (1) sera convergente, si p>/i — *, et divergente, 



2. Voici un autre theoreme de Cauchy que M. Borel a etendu un peu 

 en lui donnant la forme suivante : Les series 



£/(„) et 2 «■/<*■) («>'«) 



sont en meme temps convergentes ou divergentes si /(oc) est positive, 

 decroissante et tendant vers zero quand x augmente indefiniment. A l'aide 

 de ce qui precede, on demontre ce theoreme plus general. Les series 



2/(«>, j^mwyti) 



sont en meme temps convergentes on divergentes clans les conditions suivantes. 

 La fonction /(x) tend vers zero quand x tend vers l'infini et elle admet, 

 poura^i, une derivee continue d'ordre m telle que l'integrale 



a un sens. La fonction ty(a?) tend vers l'infini avec x et'elle admet pour r r 



