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Elles sont egalement continues dans V. 



Si une famille est normale dans V et si en un point a? , j , 



l/(^o, Jo) KM 



pour toute fonction de la famille, toutes ces fonctions sont unifc 

 bornees dans V . 



Une famille de fonctions, egalement continues dans V et bornees en un 

 point de V, est normale dans V. 



2° Plus generalement, sHlexiste deux valeurs exceplionnellesfinies distinctes 

 aelb, lelles quaucune des fonctions d une famille ne prenne dans V ni la 

 valeur a ni la valeur b, la famille est normale dans V. Ce dernier criterium 

 en contient plusienrs autres relatifs au cas oii les valeurs exceptionnelles 

 des/ dans V forment des lignes oudes aires. 



II. Envisageant une famille de fonctions holomorphes dans V, qui soit 

 normale dans certaines parties de V et qui cesse d'etre normale en certains 

 points interieurs a V, l'ensemble E forme des points oil la famille cesse d'etre 

 normale jouit de proprietes extremement remarquables com me on le verra 

 dans la presente Note et dans cellesquisuivront. On peut direensommeque 

 cet ensemble E jouit de toutes les proprietes des singularites des fonctions ana- 

 lyliques de plusieurs variables, bien qu'il n'apparaisse pas comme l'ensemble 

 des points singuliers d'une telle fonction, ainsi qu'on le verra plus loin. 

 Toutes les proprietes de E derivent du tbeoreme fondamental suivant : 



Si une famille de fonctions holomorphes autour du point x = v = o est nor- 

 male en tout point x = o, y voisin de o, [o < \y (< r], mais cesse d'etre nor- 

 male au point x = o, y = o, on peut ton joins, quelque petit que soil lenotnbre 

 positifr t donne a priori, trouver un nombre positifz, defacon que : a toutx de 

 module < £ on puisse faire corresponds un y () au moins de module < rj, '« 

 que la famille ne soil pas normale au point x , y . 



En gros, cela veut dire que les points de E ne sont pas isoles. 



Voici le principe de la demonstration : 



i° Envertude l'hypothese et du lemme de Borel-Lcbesgue, la famille 

 sera normale pour \x\<% et y],<|j|^yj 2 ,^ etant assez petit, ainsi que r t{ , 

 *] 2 et Y], - Y], ('). On considerera un cercleCde centre Ode rayon < 5, dans 

 le plan x, etun cercle T de centre O de rayon intermediaire cntre r,, et rj« 



