SEANCE DU 29 MARS 1920. 79 5 



II. Si/ est une fonction complete, g son inverse, et <p une fonction 9, la 

 fonction 



+(*. r)>/|?[*<*). *<y)lj 



est une fonction 9. 



La demonstration est une simple verification; la reciproque constitue le 

 theoreme d'existence suivant : 



« L'equation 



(0 /C?(*.y)] = 4"[/<*)./(/)l 



ou 9 ct <{/ sont des fonctions <p, a une infinite de solutions completes et 

 l'ensemble des solutions a meme puissance que l'ensemblc des fonctions 

 discontinues d'une variable. » 



Dans la demonstration, nous supposons que le continu peut etre bien 

 ordonne. 



III. Nous designerons les solutions de (1) par la relation /* ,,c, (.r), k\z) 

 etant une fonction arbitraire prise com me indice. 



Nous definirons les fonctions a indices incommensurables de la faron 

 suivante : 



Soient/*'(a?) une solution de 



(») "/[?(*./)! = /(*)+/(/). 



el g k '(x) son inverse. Nous poserons 



On voit qu'il y a une infinite de notations par indices incommensurables 

 et que toutes ces notations verifient les deux relations 



#[•?(*)! = <&<*). 

 ?[#(*), ?J(*)1==?J^(*)- 

 Nous appellerons groupe $ \(x) l'ensemble des fonctions ojj '(•"'■') °" * est 

 variable. 



L'equation fonctionnellc 



(3) /c«*)]=*r[/(*)i 



ou rc et as sont variables, admet une infinite de solutions qui sont aussi 

 solutions de (1) et, reciproquement, une solution de (1) verifie une infinite 

 d'equations telles que (3). 



