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si nous formons les deux equations auxquelles elle satisfait, et que nous les 

 ajoutions membre a mernbre, nous constaterons que le parametre k 

 disparatt, et qu'il reste l'equation unique 



^i^^MM- 



qui admet par consequent pour solution la fonction \J(a;,y) consideree. 

 Or, il suffit de poser 4 u. 2 — l - = n(n + i), ou u = ^ + j, pour identifier 

 celte equation avec l'equation (i) : nous voyons done que l'equation de 

 Laplace, avec le changement de variable envisage, admet des solutions de la 

 forme 



9P« wi (cos?)W a;+;?+ ,(|, ~0. 



GEOMETRIE. — Enumeration des classes de transformations da plan projectif. 

 Note de M. L.-E.-Z. Brouwer, presentee par M. Paul Appell. 



En 191 2, dans une Communication faite au Congres international de 

 Cambridge, j'ai enumere les classes de transformations univoques et con- 

 tinues de la sphere en elle-meme, en demontrant que chacune de ces classes 

 est caracterisee entierement par le degre des transformations qu'elle 

 comprend. 



Dans le cas du plan projectif la solution du meme probleme est un peu 

 plus compliquee : je la deduis succinclement dans les lignes suivantes. 



Soient-n: le plan projectif, dans lequel nous supposons definie une geometrie 

 elliptique E; t une transformation univoque et continue de it en lui-meme; 

 k une courbe simple fermee et unilaterale de?:; h le dedoublement de k\ 

 G la region bilaterale de ir bornee par h\ k' l'image de k pour /; F l'une 

 des deux representations de G 4- h sur le dedoublement spherique (3 de tc, 

 determinees par i; G' et h' les images de G et de h pourF; I l'aire de ^ pour 

 la geometrie E. 



La transformation t sera dite de premiere espece, si k' est unilaterale; de 

 seconde espece, si k' est bilaterale. 



Soil t de premiere espece. Nous pouvons definir les indicatrices de G et 

 de fi de maniere que l'aire totale de G' devienne egale a (n 4- £\ h n desi- 

 gnant un entier nan ite'gatif, que nous appellerons le degre de t. 



