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en (x ,y ), lafamille des f soil normale en tout point voisin cfe(a? ,y ), alors 

 sur toute caracteristique voisine de a?„, y , il existe au moins un point (x, y) 

 voisin de (x n ,y t) ) oil lafamille des f cesse d'Stre normale. 



II. On deduit de la des consequences variees en procedant comme le fait 

 E.-E. Levi dans son remarquable Memoire Sur les singu/arite's essentielles 

 des fonctions analytiques de deux ou plusieurs variables. 



i° O etant un point fixe quelconque de Fespace (x t , x 2 , y^'Y-,), et OP 

 la distance de O a un point P qui decrit l'ensemble E des points ou la 

 famille des /Vest pas normale, il est impossible quit existe un point P' cfeE, 

 dont la distance a O soil superieure a celle de tous les points P de E voisins 

 deP'. 



2 Par suite, l'ensemble E ne peut pas conlenir de portion isole'e toute entiere 

 a distance finie. 



3° Et d'autre part, si la famille de fonctions / est normale en tout 

 point d'une hypersurface fermee interieure au domaine V ou les / sont 

 holomorphes, elle est normale aussi dans tout le volume interieur a I'hy- 

 persurface consideree. 



Par la les families de fonctions de plusieurs variables se diflferencient des 

 families a une variable; on sait en effet qu'une famille de fonctions de z 

 peut etre normale en tout point interieur a un cercle, sauf au centre, a 

 condition de contenir une suite qui tende vers I'infini en tout point distinct 

 du centre, tout en restant bornee au centre. 



4° Soient \ un domaine simplement connexe du plan des x, x e un point 

 interieur a A, A' un domaine borne quelconque du plan des y> G sa fron- 

 tiere('); si une famille de fonctions holomorphes est normale : 



a. en lout point (x 0i y),y etant arbitral re dans A' ou sur C, 



b. en tout point (a?, y), x etant arbitraire dans A ety sur G, 



on peut affirmer que la famille est normale en tout point (#,j) du 

 domaine (A, A), x etant arbitraire dans A et y arbitraire dans A' et sur C . 



III. II s'ensuit d'interessantesjDro/wv'e'/e* metriques de Tensemble E. 

 Lorsque la famille consideree est normale aux points (x = o, y interieur 



a un domaine borne A' ou sur sa frontiere C), a tout point y de A' ou deC 

 correspondra un rayon maximum R Vo tel que la famille euvisagee soil nor- 



(') Le domaine (A. A') etant interieur au volume V dans lequel les fonctions de 



