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GEOMETRIE INFINITESIMALE. — Sur les couples de surfaces a lignes 

 de courbure associees. Note (') de M. L. Bianchi. 



1. \ous dirons que deux surfaces S, S' sont a lignes de courbure c 

 lorsqu'elles se correspondent par leurs lignes de courbure (u„ u. 2 ) de telle 

 s"orte que, dans les expressions de leurs elements lineaires 



nr ztt; 



(i, /• = !, 2 ), 



c'est-a-dire leurs rotations ($,-*, [i u soient les memes, tout en etant permutees. 

 Comme les rotations sont les memes pour une surface et pour son image 

 spherique, la recherche de ces couples de surface (S, S') revient au 

 probleme de trouver les couples d'elements lineaires, appartenant a la 

 sphere unitaire 

 CO 



( ds* = / 



qui presentent les memes rotations permutees 



Si Ton connait un couple de tels elements spheriques (i), deux surfaces 

 quelconques S, S', ayant respectivement ces images spheriques, forment 

 un couple a lignes de courbure associees. 



2. Deux elements spheriques associes (i) etant donnes, nous allons 

 former des couples specialize ( S, S' ) de surfaces a lignes de courbure associees 

 de la maniere suivante. Soient w {J w % les distances de l'origine aux deux 

 plans principaux de S, et 9 la distance au plan tangent; de meme w ■■',, w r fi ?' 

 auront les significations analogues pour S'. Maintenant, m etant une 

 constante arbitraire non nulle, formons avec les six lonctions inconnues 

 («*,-, 9), (a--, z,') le systeme differentiel suivant : 



1 — A/O, 



dw t _ . , do 



