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Pour toute fonction meromorphe d'ordre non nul, ou bien I ensemble E a 

 existe, avec toutes les proprietes qu'on lui a reconnues, ou bien Von a la pro- 

 priety i°. 



II. Des considerations analogues permettent, deux nombres complexes 

 oj, et to 2 etant donnes (' ), dont-le rapport n'est pas reel, d'etudier la famille 

 desf Ptq (z) — f{z H-/?<o, -hqco 2 )(p, q = ± i, ±2, ..., =hcc).On se sertde 

 la notion d'ordre de croissance d'une fonction ou d'une suite. Les conclu- 

 sions sontles suivantes : 



i° Ou bien il exisle un point z 9 , aulour duquel les f p , q (z) ne formenl pas 

 une famille normale; dans les aires © + /»<», H- q co 2 , aussi petite que soit © 

 entourant z ot f(z) prendra une infinite de fois toute valeur, sauf deux au 

 plus. z fait alors partie d'un ensemble E Wi w de points jouissant de la pro- 

 priete precedente. 



2 Ou bien, quel que soit z , la suite des valeurs Z J , g = f(z +/?«, -+- qoi. 2 ) 

 est dense dans tout le plan Z, sans que l'ensemble E w ,„ ait de points a dis- 

 tance finie. 



3° Ou bien il existe un point z et une valeur a pour laquelle 



[/(*. + J>»«H- ?«,).-- a|>«, 



quels que soient/?et q, entiers,positifs ou negatifs, l'ensemble E MiWj n'ayant 

 pas de points a distance finie. AJors lenombrederacines def(z) — a — o dans 

 tout parallelogramme de periodes sera inferieur a un nombre fixe N, et par 

 consequent dans un cercle de rayon r, le nombre de ces racines sera au plus 

 de l'ordre de r 2 . V exposant de convergence de la suite de ces racines sera _ 2, 

 aussi bien pour les racines de f(z) - a~o que pour les racines de 

 f(z) — b = o, b etant suffisamment voisin de a, par exemple | b — a | < 2 > 

 f(z) nepeut done etre d'ordre superieur a 2. 



Les fonctions elliptiques de periodes to, et to 2 remplissent les conditions 

 actuelles,/^ _ q (z) =/(z), E lrti iWi n'existe pas, le nombre des racines de/- a = o 

 dans tout parallelogramme de periodes est fixe quel que soit a. 

 Pour toute fonction meromorphe ou enliere d'ordre > 2 : 

 i° Ou bien, quel que soit s 0f w, et w, etant donnes quelconques, les 

 valeurs f(z +/>«, -+- q(M 2 ) = Z pq sont denses dans tout le plan Z. 



1 ' t On les appeliera periodes pour abreger le langage. 



