SEANCE DU 19 AVR1L 1920. 919 



2° Ou bien l'ensemble E, 0(lK , des points autour desquels la famille 

 des f jiq K z) =/(z 4-/>oj, -4- </co,) n'est pas normale, a certainement une infi- 

 nite de points a distance finie. Cet ensemble reste invariable par toute trans- 

 lation /ho, 4- q<s}.,. 



Dans le premier cas,/(s) s'approche de toute valeur a aux sommeis dun 

 reseau quelconque de parallelo grammes ( ' ). 



Dans le deuxieme cas, exception faite peut-etre pour deux vafeurs excep- 

 tionnelles de a, on peut, quel que soil «, trouver une infinite de racines 

 def(z) — a = o, s { (a), z 2 (a), ..., z„(a) t ... auxquelles correspondront 

 une infinite" de sommets du reseau s '-hp(a { -+- q(a.> (z etant un point fixe 

 de E Wi Wj ), notes par :„ + /)„&), -+- q n (o. 2i de facon que la difference 



M«) -<*.+/>*», + *.*)] 

 tende vers zero quand n grawlit indefiniment. Naturellement, la suite 

 des (p at q n ) dependra de la valeur a choisie. 



Les deux proprietes precedentes ne sont d'ailleurs pas exclusives l'une de 

 l'autre. 



ANALYSE MATHE.MATIQUE. — Sur les fonclions de premiere classe . 

 Note ( 2 ) de M. W. Sierpinski. 



Le but de cette Note est de demontrer le theoreme suivant, analogue 

 au theoreme connii de M. Lebesgue sur les fonctions de premiere 

 classe : 



TnEORftMR. — Pour qu une fonction discontinue d'une variable reelle f(x) 

 soil une fonction de premiere classe, il faut etilsuffit que les ensembles plans 



E l -Elf(x) >y] et E,= E[/(.r x v] 

 soient des ensembles $ 9 (c'est-a-dire des sommes d'infinites denombrables 

 d'ensembles fermes). 



Hans le theoreme de iM. Lebesgue il s'agit <Ies ensembles lineaires 

 E[f(x)>a] et K[f (*)<*], 



(') On peut preciser davantage, mais il faudrait sortir du cadre bref de la present*' 

 Note; ceci sera developpe dans un Memoire qui paraitra procliainement. 

 ( l ) Seance du 6 avril 1020. 



