ACADEMIE DES SCIENCES. 

 ■ E[/V)>y] designe l'ensemble de tons l( 



Demonstration. — Soient f{x) une fonction de premiere classe, f n (x). 

 (n = i, 2,3, ...) une suite de fonctions continues, conver^ente vers /(a?). 

 On verifie sans peine les egalites 



U/ M > X ]=2 in«[ AW =r + i]' 



Or, les fonctions de deux variables reelles -?(#, y) = ,/„(- /; ) — r etant 

 continues, les ensembles 



.[«.«, t iM*«-"i] 



sont fermes. Un produit d'ensembles fermes etant ferme, les formules (i) 

 demontrent done que les ensembles E, et E 2 sont des § . La condition de 

 notre theoreme est done necessaire. 



Soit maintenant f(x) une fonction discontinue donnee d'une valeur 

 reelle x, telle que les ensembles (plans) 



E l =Elfir )> r] et E,= E[/(*)<jj 

 sont des 4 9 . Nous pouvons done poser 



(2) E 1 = ^i + ,f 2 +,T" 3 + .. . et Ejzzraej + Ks-H-TCj + ..'.., 



ou 4 et 3e B (n = i,2, 3, .. .) sont des ensembles plans fermes et bornes. 

 Posons 



.-:- "*„ 



ce seront done des ensembles plans fermes et bornes. 



Soient n un nombre naturel donne, ,r un nombre reel donne, r n =f( x o)- 

 Je dis qu'il existe un nombre positif £ tel que la partie de l'ensemble S„ 

 contenue entre les droites x = cc 6 — £ et x,= x\-\-t est entitlement 

 au-dessous de la droite v= JV En etTet, admettons qu'uft tel nombre z 

 n'existe pas. II existerait done pour tout k naturel un point p k {x k1 Va) des n 

 tel que \x k - # |<t et y A .> j . L'ensemble s„ etant borne, il en est de 



