SEANCE DU K) AVRIL 1920. 9^3 



X(a < X < b) tel que/'(X) == o. Si/(a) = - /(&) (arguments differents), 

 ilyaau moins im point X (a < X< fe) tel que/(X) = o; s'il y en a plu- 

 sieurs, il y a aussi au moins un point X, tel que/'(X,) = o. Les points 

 tels que f'(x) = o seront les points multiples du systeme de points .r, qui 

 est defini par les equations \f(x)\ = k, ou les k sont des constantes. » 



Le theoreme, ainsi enonce, peut etre etendu au domaine complexe 

 presque mot pour mot. On a en effel pour les fonctions/(r) de la variable 

 z = x -f- iy le theoreme analogue : 



« Soit/(;) = P (x, y) -hi()(cc, j)holomorphedansledomainefermeA, 

 limite par la courbe fermee C, qui n'a pas des points multiples, et qui sera 

 telle que \/(z)\ = /• en tous les points de C. Si arg /'(;;) est aussi constant 

 sur C, il y a au moins un point interieur de A ou f (z) = o (dans ce cas 

 tous les points interieurs ont du reste cette meme propriete). Si arg /'(>) 

 varie sur C, il y a au moins un point interieur Z tel que /"( Z) = o; s'il y en 

 a plusieurs, il y a aussi au moins un point Z, tel que /'(Z 1 ) = o. Les 

 points auxquels f'(z) = o seront les points multiples du systeme de courbes 

 C A , qui est defini par les equations \/(z) | = /i, ou les // sont des cons- 

 tantes. » 



Si \f(z)\ et arg f(z) sont tous deux constants sur C, f(z) se reduit a 

 une constante, et Fenonce est evident. Supposons que argy(z) varie sur C. 

 Regardons la fonction \f(z)\ = + v'P"-t- Q a = R(«t,jk), qui est continue 

 dans le domaine ferme A et y atteint un maximum et un minimum. Le 

 maximum seraforcement atteint sur C, done d'apres les suppositions a tous 

 les points de C. Le minimum, qui est forcement zero, est done atteint a un 

 point interieur de A. 



Supposons, pour fixer les idees, que f(z) a dans A deux zeros distincts 

 a et b, dont chacun peut du reste etre un zero multiple. Nous pouvons 

 done demontrer que /' (z) = o en un .point inferieur c de A, c ^ a, c ^ b. 



L'equation R = \f(z)\ peut representer une surface analytique situee 

 au-dessus du plan des (x, y), et les courbes \/(z)\ = const, sont les 

 courbes de niveau de cette surface ('). Les courbes C* : |/(-)| = />, ou 

 o // X-, donnent alors une carte geographique de la surface dans le 

 domaine A. 



Joignons a et b par des courbes simples situees toutes a 1'interieur de A. 



(') VoirparexempleG.-H. Hardy, A course of pure mathematics , Cambridge, 1908, 

 p. 4i2. - J. L. W. V. Jensen, Nyt lidssk rift for malhcnaiik. Bind 2!. Open- 



