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on a, par hypetbese, P« = />»4- *#,, ou p ni p' n , Q n sont des entiers, 

 Q»+i >Q„>i» et limQ n = oo pour n = cc ; enfin "k n est >3; J est un 

 nombre de Liouville a la condition necessaire et suffisante que Ton 

 ait limA„ — cc pour n = so . 



On verifie que, quand J est reel, J rt rest, et que | J„| est alors aussi une 

 reduite du developpement en fraction continue de | J|. 



J B , ou n est un entier variable, sera dite une fraction ^approximation 

 caracleristique de J (une reduite caracteristique quand J est reel). Si toute 

 fraction irreductible J'— — , qui n'est egale a aucune fraction de S, satistait 

 a la condition |J — J' | > Q'-n, ou a est un nombre fixe, le meme pour 

 toutes les fractions J', nous dirons que la suite Z est complete, c'est-a-dire 

 qu'elle renferme toutes les fractions d'approximation caracteristiques de J. 

 Une suite complete reste complete quand on y ajoute ou supprime un 

 nombre fini de termes; deux suites completes pour J ne different que par 

 un nombre fini de termes, les autres etant deux a deux egaux. 



II. Soit J reel; posons (L,v etant le logarithme neperien de x) 



(3) ^LQ.= fk,LQ J ,+ 1 ; 



on a u.„<i -h _ ; en outre, quand l n et J rt+I sont irreductibles et, de 

 plus, deux reduites consecutives, i -+- . __ < u. n : 

 L'egalite 



).„ U) n = **" ' ' ' M "~ r LQ„ +M i 



(4) . fx„>p>o (o fixe et in.depebdant de «), 



la suite S est complete. Onconnait des cxemples etendus de nombres J reels 

 de Liouville tels que lim u.„ = i pour n = cc. 



III. La notion de suite complete et la condition (4) ont des applications 

 dans la tbeorie des groupes de nombres de Liouville (on sait que chacun de 



celle des nombres rationnels). Envoici une qu'on peut baser surun iemmeC) 



