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ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur une famille de fonclions multiformes 

 definies par des equations differenlielles du premier ordre. Note 

 de M. Pierre Boutroux. 



Dans une Note dernierement presentee a l'Academie ( 1 ), j'ai applique 

 a l'equation differentielle 



certains resultats auxquels m'a conduit l'etude d'une equation plus generate. 

 Je voudrais presenter a ce sujet quelques remarques eomplementaires. 



I . Equations differenlielles ration nelles du premier ordre et du premier degre 

 appurtenant a la mime famille que I' equation (1). — L'etude des equations 

 rationnelles montre qu'au voisinage d'un point transcendant d'indetermi- 

 nation, que nous supposerons porte en x = cc, les « branches d'inte- 

 grales » z(x) obtenues en suivant l'ensemble des rayons convergeant vers 

 ledit point peuvent etre de trois types : type meromorphe (nombre infini 

 de zeros et tfinfinis, croissance comparable a celle d'une fonction mero- 

 morphe ): type entier exponent le! i pas d 'infini, infinite de zeros, croissance 

 comparable a celle d'une fonction entiere ); type algebroide (nombre borne 

 de zeros et tiinfinis, branche asymptote a une fonction algebrique). 

 J'envisage, tout d'abord, le cas ou, apres un changement de variables 

 eventuel (a?, ac*), (z, x "_ "*" ^ j les branches z (definies comme il a etc dit) 

 sont du type algebroide entier (asymptotes a des polynomes). Lorsque 

 loutes les branches definies par une equation differentielle appartiennent 

 a ce type, je dirai que l'equation est du type A. Ecrivons, en particulier, 

 l'equation rationnelle sous la forme 



ou les A et B sont des polynomes en x de degres respectifs m in ..., m p , 

 n {) , . .., n q . Je constate que, si l'equation a\ pu etre ramenee au type A 

 relativement au point x = oc, on aura necessairement, en appelant i etj des 



y figure a tort, page 166, 

 isforme le champ F 2 en \ 



