SEANCE DU IO MAI 1 920. 



spectivement entre 1 etp et o et ( 



Twites les equations (2) satisfaisa.nl a ces conditions pmvni etre i-tudiees 

 de la rneme maniere au voisinage de x = ao, et dans tout le plan si ./• x est le 

 seul point tr a ascendant d 'in determination (il en sera ainsi nolammenl quand 

 les B n'ont aucune racine commune). If integration de C equation sr rarnene 

 alors a I 'etude d'un groupe jouissant de proprietes auiomqrphiques da type 

 indique par ma derniere Note (le nombre des substitutions fondanientales 

 etarit, d'ailleurs, plus ou moins grand"). 



II. Au sens mod erne du /not, !' equation ( 1) pent el re re Pardee comme inle- 

 gree. — Nous connaissons, en efiet, un parametre yielqu'a chaque valour 

 de q corresponde une et une seule « branehe » z(,v) sur {'ensemble des 

 rayon? issus de x = co et paralleles a une direction donnee. Quand \q\ est 

 grand, la branehe ainsi definie presente exactement < ' > qua In- points cri- 

 tiques (atgebriques) ; d'ailleurs, pour ('equation ( 2) envisage, il est facile 4e 

 verifier qu'il en est encore ainsi pour q quelconque. La branehe en question 

 est des lors, dans un champ determine, une fonction uniforme don t on coiina i t 

 les points singuliers (ici quatre) et que i'equation differentielle permet de 

 representer tout entiere par un developpement ou un nombre borne de 

 developpements convergents. Une telle branehe est une fonction ■ 

 suivant le sens donne a ce mot par M. Painleve lorsqu'ii a decouvert les 

 solutions uniformes des equations du second ortire. Par consequent. I'equa- 

 tion (2) se trouve «integree» desqifon sait determiner Vensembledes raleurs 

 deq appurtenant a une rneme fonction ni-i-'- < >r e'est la le pmbleme 



dont j'ai indique une solution. Le groupe de substitutions qui delink les 

 valeurs cherchees de q est oblenu en defiuissant dans des champs deter- 

 mines tres simples deux branches uniformes de functions. }<i.</K i°A ( l)> 

 Lesdites branches peuvent etre immediatement calcuiees dans tout leur 



des proprietes caracteristiques (automorphiques) qui paraissent jouer un 

 rdle fondamental; ces branches doivent done etre regardees comme 

 « connues » (au sens indique tout a 1'heure, qui n'implique pas, bien entendu, 

 que i'etude des proprietes des fonctions i suit tenninee). 



(') Comptes rendus, t. 168, 1919, p. iido. 



