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sembles sans elements communs, les monomes d'un ensemble se deduisant 

 d'un monome determine en le multipliant par tous les monomes ne conte- 

 nant que certaines variables determinees. 



<x% , x%r t t ...x* 1 est dit plus haut on plus has que x^ n x^- 1 . . .x x ^ suivant 

 que la premiere des differences % n ~ a„, a„_, — a„_,, . .., cc i — a'„ qui n'est 

 pas nulle, est positive ou negative. Bornons-nous a considerer un systeme 

 complet (M). 



Le produit d'un monome provenant de M par une variable non multiplica- 

 trice de M provient d'un monome M plus haul que M. 



Les proprietes precedentes, qu'il a ete commode d'enoncer dans le lan- 

 gage algebrique, sont evidemment des # proprietes arithmetiques des sys- 

 temes de n entiers constitues paries exposants; elles s'appliquent, grace a 

 des modifications de langage evidentes, aux derivees d'une fonction de n 

 variables. 



1. Soit maintenant un systeme d'equations aux derivees partielles, (S). 

 L'attribution de s cotes successives a chacune des inconnues et variables 

 independantes, suivant le procede de M. lliquier, permet la repartition des 

 inconnues et de leurs derivees en une infinite de classes C,, C 2 , ... dont 

 chacune ne renferme qu'un nombre fini d'elements; si y, v' appartiennent 

 respectivement a C h C A , on dira que rest anterieure ou posterieure a / 

 suivant que i est inferieur ou superieur kk. Supposons que : i° les premiers 

 membres de (S) sont des derivees toutes differentes d'une ou plusieurs 

 inconnues; 2° chaque <>quation ne renferme dans son second membre (') 

 que des quantites anterieures au premier. 



Une des proprietes enoncees au paragrapbe I permet de definir ce que 

 Ton appellera « fonctions initiales relatives au systeme des premiers 



Un systeme tel que (S) ad met au plus une solution reguliere pour laquelle 

 les fonctions initiales (relatives au systeme des premiers membres) prennent 

 des valeurs do'nnees satis feasant aux conditions habituelles de regularile. 



Appelons(A) un systeme d'squations obtenu en adjoignant aux (S) un 

 certain nombre de leurs derivees, de maniere que les premiers membres 

 relatifs a une meme inconnue forment un systeme complet ( 2 ); variables 

 multiplicatrices, classe de A, les variables multiplicatrices et la classe de son 



(') Outre les variables independent. 



