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premier membre; equation 4 p une equation obtenue en derivant A par 

 rapport a ses seules variables multiplicatrices. Formons la derivee ~ 

 d'une equation A par rapport a une de ses variables non multiplicatrices 

 et la difference B entre — et l'equation e i p , qui a meme premier membre. 



Pour que Ton ne puisse deduire de (S) par derivations t»i combimiisons 

 aucune relation (differentielle ou autre) entre les « fonctiooa initiales 

 relatives au systeme des premiers membres », il faut el it suffit que chaque 

 equation B soil consequence « algebrique » des ~L y de classes in feci cures a la 

 classe de l'equation — qui a scni a former B i conditions C). 



On peut dire dans ce cas que (S ) est compUt erne ni in titrable. 



3. Un systeme (§) completement iategrable a eflectivement une solu- 

 tion reguliere pour laquelle les fonctions initiales (relatives au systeme des 

 premiers membres) prennent des valeurs arbitrages donnees (sous les 

 conditions habituelles de regularite). 



La demonstration de « convergence » que nous avons obtenue est 

 simple et fournit tout naturellement, en plus du theoreme fondamenlal, 

 les generalisations qu'a indiquees ulterieurement ML Riquier ('). 



4. Supposons (S) lineaire et completement integrable. Designons par 



X equal ion A du premier. Les conditions (G) constituent un s_\s trine 

 lineaire d'equations aux derivees partielles auxquelles satist'ont identi- 

 quement les expressions A; faisons abstraction de la signification des A, que 

 nous considerons maintenant comme autant d'in.eonnues, et considerons les 



satisfait a la condition u"): il satis fait a la condition <':>") may en riant un 

 choi.v comenable de cotes; il est de plus completement intrgrab/c. Les condi- 

 tions d'integrabilite, ecrites comme il est indique au paragraphe 2. 

 conduiront a un nouveau systeme S 3 ; etc. La chaine de systcmes ainsi 

 formee est finie; I'indice k du dernier systeme est au plus egal a n — i . 



