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ANALYSE MATHEMATIQUE. — L analyse des tenseurs antisymetriques el les 

 formes symboliques de differentielles. Note de M. G. Cerf, presentee par 

 M. E. Goursat. 



Une classe remarquabie, parmi les tenseurs d'un espace a un nombre 

 quelconque n de dimensions, est constitute par ceux que M. Einstein 

 appelle tenseurs antisymetriques; pour eux, deux des composantes (cova- 

 riantesou contrevariantes), dont les designations ne different que par l'ordre 

 des indices qui les caracterisent, sont egales ou opposees suivant que les 

 permutations des deux groupes d'indices sont de meme classe ou de classes 

 differentes. Nous ne nous occuperons dans ce qui suit que des tenseurs de 

 cette espece; en general, nous ne raisonnerons que sur des tenseurs de 

 rang 2, mais les indications donnees seront valables pour un rang quel- 

 conque. 



Un champ de tenseurs antisymetriques covariants de rang 2, F, est donne 

 par — - — - composantes F- /(i correspondant chacune a une des combinai- 

 sons de n objets deux a deux; les autres composantes se deduisent de 

 celles-la suivant une regie qui resulte immediatement de la definition; les 

 expressions F )>tt sont des fonctions des n coordonnees que Ton peut prendre 

 pour coefficients dune forme symbolique de differentielles du deuxieme 

 degre a n variables : 



Lorsqu'on effectue une transformation quelconque de coordonnees, les 

 nouvelles composantes du tenseursont egales aux coefficients de la nouvelle 

 forme obtenne a partir de w par le cbangement de variables correspondant. 

 La liaison etablie entre le tenseur covariant et la forme symbolique est done 

 independante du cboix des coordonnees. A la forme w', derivee de to. et 

 supposee non identiquement nulle, correspond un tenseur antisymetrique G 

 de rang 3, covariant, qui est la rotation de F. D'apres une propriete connue, 

 rotG = o; de la, 1'interpretation de la relation rotF = o, qui est equiva- 

 lente a F = rot/,/etant un vecteur covariant. 



Cela est independant de la definition metrique de l'espace ou nous ope- 

 rons; soient maintenant 



d S > y. gik d^dx k 



la forme quadratique fondamenlale au moyen de laquelle cette definition 



