12 1 8 ACADEMIE DES SCIENCES. 



d'etre rappele, tout systeme de deux equations de Pfaff a 6 variables admet 

 en general deux resolvantes de premiere espece. 



L'integration du systeme (i) peut quelquefois se ramener d'une autre 

 manier'e a 1'integration d'une equation aux derivees partielles du second 

 ordre. Supposons que ce systeme s'ecrive, avec d'autres variables X, Y, Z, 



P> Q, u, 



( I ') Q t =: d'L — P dX - Q d\ rrr: O, il 2 z= dV - A d\ - B dY — G dP — E dQ — o, 



A, B, C, E elant des fonctions des nouvelles variables. Si Ton cherche 

 encore a determiner Z, les variables independantes etant X, X , la seconde 

 equation du systeme fournit une condition d'integrabilite qui est lineaire 

 en R, S, T, RT - S' 2 , les lettres 11, S, T ayant le sens habituel, et qui con- 

 tient en general la variable U. Maisil peut se faire que, par un choixconve- 

 nable des variables nouvelles. cette condition ne renferme pas U. La fonc- 

 tionZdoitsatisfaire alors a une equation du second ordre, que j'appelle 

 une resobanle de seconde espece du systeme de Pfaff. A toute integrale de 

 cette resolvante correspondent une infinite d'inlegrales a deux dimensions 

 du systeme de Pfaff, dependant d'une constante arbitrage, que Ton obtient 

 par l'integration d'une equation differentielle du premier ordre. Ces 

 diverses resolvantes d'un meme systeme se correspondent par Tune des 

 transformations de Backlund B ( , B, ou B 3 . 



On a eludie aussi d'autres transformations qui font corresponds deux 

 equations aux derivees partielles du second ordre, de telle sorte qu'a toute 

 integrale de l'une correspondent des integrates de l'autre ne dependant que 

 d'un nombrey?m'(qui peut etre nul) de constantes arbitraires. 



La plupart des transformations connues, etbeaucoup d'autres sans doute, 

 se rattachent d'une facon tres naturelle a 1'etude du systeme de Pfaff, qui 

 est equivalent a une equation du second ordre, et des systemes prolonges 

 qui s'en deduisent. 



2. On sait que l'integration d'une equation du second ordre 



(.) r^f(^y,:, P , q , S .t) 



peut etre remplacee par un probleme un pen plus general, la recbercbe des 



'ables 



nensions du systeme de trois equations a 7 van 



,y;2,p,q>s,t } 



