SEANCE DU 2") MAI 1 920. I2IQ 



ce systeme n'est pas le plus general des systemes a 7 variables, car il admel 

 un systeme derive, forme de la premiere equation de ce systeme. Inversement, 

 il est facile de demontrer que tout systeme S 3 de 3 equations a 7 variables 

 qui admet un systeme derive, forme par une equation de classe 5, peut 

 etre ramene a la forme (3). Etant donne un svsleme S de celle espece, s'il 

 existe une equation aux derivees partielles du second ordre E telle qu'a 

 toute integrate de E correspondent des integrates a deux dimensions \I, de 

 S 3 ne dependant que d'un nombre lini (qui peut etre null de eonslantes 

 arbitrages, je dirai que E est une resolvanle du systeme S,. Nous connais- 

 sons a priori une resolvante du systeme 1 5 ), liquation t 2 ) elle-meme ; je 

 Fappellerai la resoUante principalc ('e systeme peut, dans certains eas, 

 admettre d'autres resolvantes. 



i° II en est ainsi si Ton peut trouver deux equations du systeme S 3 

 formant un systeme S 2 de classe 6. 



Les diverses resolvantes de S, sont aussi des resolvantes de S 3 . Mais il 

 peut encore se presenter deux cas; il peut se faire que S 3 soit le prolonge- 

 ment de So : c'esl ce qui arrive en particulier si 1'equation (2) admet une 

 famille de caracteristiques du premier ordre. Le systeme S 3 renferme alors 

 un systeme S 2 dont Fequation (2) est une resolvante de premiere espece. 

 Les autres resolvantes de S 2 correspondent a celle-la par une transformation 

 de Backlund. 



II peut aussi arriver que S :t renferme un systeme S 2 de sixieme classe 

 sans en etre le prolongement. Par exemple, si 1'equation (2) ne renferme 

 pas z, les deux dernieres equations ( 3 ) forment un systeme S, a (I 

 variables x, y; p, q, s, t. Comme toute equation du second ordre qui admet 

 une transformation de contact infinitesimale peut etre ramenee a une equa- 

 tion qui ne renferme pas s, on en conclut que Fintegration d'une equation 

 du second ordre qui admet une transformation de contact infinitesimale 

 peut etre ramenee a Fintegration d'une equation du second ordre qui possede 

 un systeme au moins de caracteristiques du premier ordre. Gette propriete 

 a deja ete remarquee par M. Cerf, qui l'avait obtenue par un procede tout 

 different. 



2 Le systeme S 3 peut admettre des resolvantes d'une autre espece. 

 Soient X, Y, Z, P, Q, U, V un nouveau systeme de variables telles que les 



(3') ) ,/i; = a,/\ * BrfY + C</P +EdQ< 



{ d\ at A, rfX -+- B, d\ + C, rfPH B, rfQ, 



