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A, B, C, E, A,, B n C n E, etant fonctions des nouvelles variables. Si Ton 

 prend encore X et Y pour variables independantes et si Ton suppose Z 

 remplacee par une fonction F(X, Y), P et Q par les derivees partielles 

 de F, les conditions d'integrabilite des deux dernieres equations four- 

 nissent deux relations lineaires en R, S, T, RT — S 2 . Ces deux conditions 

 sont distinctes pour un systeme quelconque de trois equations a 7 

 variables; mais le systeme (3)' considere admet un systeme derive compose 

 d'une equation, ce qui ne peut avoir lieu que si les conditions d'integrabilite 

 se reduisent a une seule. En general, cette condition d'integrabilite contient 

 U et V. Si elle ne contient pas U et V, elle constitue une resolvante du 

 systeme S 3 telle qu'a toute integrate de cette resolvante correspondent oc 2 

 integrates du systeme. Considerons par exemple le systeme 

 (4} ( ds=pdx + qdy, dp = l*ip + X t z.+f{*,y,9,', t)ld*+'sdy, 



On peut 



et la condition d'integrabilite de la derniere equation conduit a une equa- 

 tion de Monge-Ampere a laquelle satisfait Z = q ('). 



3. Tous ces resultats peuvent etre generalises en prolongeant le 

 systeme (3). L'equation (2) et celles qu'on en deduit par des differentia- 

 tions permettent d'exprimer toutes les derivees partielles de Z au moyen de 

 Xj y, s et des derives p 9H et p in1 odp ik = ! . ~ - En ajoutant au systeme (3) 

 les relations nouvelles 

 (5) ds=p ti dx \-p n dy, dt = p„dx + potty, 



on obtient un systeme S 5 de cinq equations a 9 variables x, y, s, p, q, s i 

 / ,P i 2iPos, qui est le prolongement de S 3 , et dont S 3 est le systeme derive. 

 En adjoignant a ce nouveau systeme les deux equations qui donnent dp t2 , 



dz = pdx + q dy, 



dp. 



dq—sdx + t 



ty 





resolvante principale e 



st l'equation 









= X lP 



+ X..+/(*i 



y, g, s, 



0- 



it encore ecrire c 



e syste 



:me 







( dZ = 



--Pdx + Qdy, dz 



— pdx 



+ 5 



\dp = [X 



1 P + X 



.*+/(*, y.z 



, p, QX 



\dx 



