ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur les families defonctions de plusieurs variables . 

 Note de M. Gaston Julia. 



I. J'ai montre precedemment que, si des fonctions f(x,y), holomorphes 

 dans un v.olume V (') de Tespace a quatre dimensions x = x t -h e# 2 , 

 y = Y i -+-iy->, formaient une famille normale au voisinage d'un point P 

 (interieur a V) sur une surface caracteristique S passant par P, la famille 

 cessant d'etre normale en P, il fallait que toute suite infinite convergente de 

 fonctions/,, convergent vers Tinfini au voisinage de P, le point P etant, par 

 contre, limite de points ou f n (x, y) — o. Les points P de V on la famille 

 des/„cesse d'etre normale apparaissent ainsi corame les points limites de 

 Tensemble des cdntinus f (x, y) = o. On va demontrer la reciproque en 

 quelque sorte de cette propriete. 



les/ n (x, y) etant une suite infinie de fonctions f(x,y), holomorphes dans V 

 et telles que les continus f n (x, y) — o aienl une infinite de points limites P 

 intirieurs a Y (elformanl un conUnu), on va former une famille defonctions 

 <p„(a?, y) holomorphes dans V, ay ant memes zeros que les f n , et qui ne cesse 

 d'etre normale dans V qu'aux points P, limites d 'une infinite de continus 

 f n (x,y) = o. 



Le point (x,y) decrivantle continu/ ra (;r, y) = o,on peut choisir r„assez 

 petit pour que lhypersphere | X — x | 2 + | Y — y | 2 = r* ne balaie pas tout le 

 volume V. D'une facon precise, on peut choisir r n assez petit pour que 

 Tespace X\, (interieur a V), balaye par l'hypersphere precedente ait un 

 volume K> n inferieur a tel nombre positif t n que Ton voudra. (On prendra 

 pour £„ une suite determinee de nombres positifs decroissant constamment 

 vers zero, les r ti correspondants tendront aussi vers zero.) Ln tout point 

 de V exterieur au volume V n balaye par l'hypersphere precedente ou situe 

 sur la frontiere de ce volume, on a |/„(^,7)|>«», puisque Tespace consi- 

 dere ici est ferme, et ne contient pas de zero def n (x,y). 



II suffit maintenant de considerer la famille des fonctions 



9n(a 



^nf n (z 



Ces fonctions ont les memes zeros que les /„(«;,)'). Les seuls points ou elles TH 

 H On peut, sans restreindre la generalite, supposer que les/sont holomorphe: 



