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Considerons les equations (B), de cote premiere au plus egale a p, 

 obtenues en derivant les A par rapport a leurs seules variables multiplica- 

 trices (sens ancien). Les premiers membres relatifs a une menie inconnue 

 forrnent un systeme (P). Appelons variables multiplicatrices d'une equa- 

 tion B les variables multiplicatrices (sens nouveau) de son premier membre, 

 equation v\> une equation obtenue en derivant B par rapport a ses seules 

 variables multiplicatrices. 



Formons la derivee j— d'une equation B quelconque par rapport a une 

 quelconque de ses variables non multiplicatrices ; et la difference A entre ^ 

 et P equation ^ qui a meme premier membre. 



Pour que S soit cornpletement integrable, il faut el il suffil que chaque 

 equation \ soit consequence algebrique des equations »ft de classe inferieure a 

 la classe commune des — » ift» qui ont servi a la former (conditions C). Ces 

 conditions sont toutes du premier ordre par rapport aux B. 



3. Supposons (S) lineaire et cornpletement integrable. Designons par 

 « expression B » l'expression obtenue en retranchant le second membre de 

 Tequation B du premier. Les conditions (C) constituent un systeme lineaire 

 d'equations aux derivees partielles du premier ordre auxquelles satisfont 

 identiquement les expressions B; faisons abstraction de la signification 

 des B, que nous considerons maintenant comme autant de fonctions mcon- 

 nues, et considerons les -7— comme les « premiers membres ». 



Le systeme S_> obtenu satisfait aux conditions i°, 2 , est cornpletement 

 integrable et du premier ordre. Si Ton forme les conditions d'integrabihte, 

 comme il est indique dans la Note precedence, et si Ton repete Toperation, 

 on obtient une chaine de systemes S 2 , S 3 , ..., S A , tous du premier ordre. 

 (Le dernier indice est d'ailleurs au plus egal a n ■+- 1 .) 



4. Considerons un module (') quelconque de formes algebriques, il est 

 evident que toutes les formes d'ordre p du module sont des combinaisons 

 lineaires a coefficients constants d'un certain nombre d'entreelles, lineaire- 

 ment independantes, F ( , F 2 , . . . , F OT (»>. 



On peut deduire des resullats indiques au paragrapbe 3 la conse- 



( l ) Gf. Hubert, Math. Annalen, t. 36, 1890 



