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celui qui donne naissance a ia branche des ellipso'ides de Jacobi, a trois 

 axes. M. Appell a donne line demonstration remarquablement simple de cet 

 important theoreme, dans son conrs actuellement a l'impression {Figures 

 d'rquilihre d'ime masse liquide en rotation). On peut generaliser cette 

 demonstration pour Tetendreaux autres figures de bifurcation et determiner 

 leur ordre d'apparition sur les courbes des Maclaurin et des Jacobi. 

 Les ellipso'ides critiques de Maclaurin sont determines par la relation 

 R.S, _ R/,S A . 



(,) 3 ~~2/n-r 



ou \\ k est une des fonctions de Lame d'ordre n, et S A la fonction de seconde 

 espece correspondante. 

 Posons, en general, 



En tenant compte des expressions differentielles qui definissent R et S, 



rf/F\_ -a S, rf/R t \ -a S A 



Ts {Wj)~ ^TXT W t Ts{ -Rj- ^7T7 Rj ( ' '" ' /l) " 

 Le signe de la derivee de l'expression entre parentheses depend de 

 R;^- R';R A oude 

 (3) [n>{n'+i)-p"-n(n + i) + ^] +.[«'(«' + ,) -n\n+i)]s>. 



i° Prenons n>n, e'est-a-dire considerons des expressions R A du meme 

 ordre que R, ou d'ordre superieur. Le coefficient de s 2 est alors toujours 

 positif. Determinons ensuite p et p' de facon que le terme constant soit 

 egalement positif. Alors Texpression ci-dessus reste toujours positive. Le 

 rapport -j-^ reste croissant et F conserve toujours le meme signe. On aura 

 done 



Faisons alors croitre la variable s, ce qui correspond a des aplatissements 

 croissants, la valeur -— — traversera successivement les autres valeurs, 

 suivant l'ordre croissant des n ou des i, k. 



