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limit es des continus f n { [x, v) — o. J'appellerai E rensemblc des points P, 



Aucun point P, limitc de continus /„(-r, v) — o et situe dans V n'est 

 isole; 1'ensemble E est parfait, 



Si pour x ass x , les y des points de E sont isoles ct si y? est Tun deux, a 

 toute valeur !*, voisine de # , correspondra au moins une valeur vj voisine 

 dey , telle que le point (•?, yj) soit un point de E. 



Aucune partie de E no peut etre isolee dans V; la distance OP d'un 

 point O quelconque a un point de E nc peut etre maximum pour un point 

 particulier P de E intericur a V. II en resulte que E ne peut £tre un ensemble 

 parfait partout discontinu. 



En fin si au voisinagc d'un point a? , y„ de E, il ny a qu un seul point (E, yj ) 

 de E dans chaque plan x — \ [\ £ — x \ < g, | yj — y D | < s], yj est une f one- 

 lion holomorplu de ; <v// roisinage de x n . 



Si au voisinage d'un point a? ,y de E, il n'y a dans chaque plan a? = \ 

 que /> points (x=?,y = ■/-,* = I, 2, . . .,/>) deE [|? - x \ < e, ]>],-— Jo|0] 

 les fonctions symetriqucs elementaires de yj 4 - seront holomorphes en E, en 

 sorte ^/e les 'f\i(^) seront des jonctions anal vtiques dei a rant au plus en \ = .r 

 un point critique algebrique. 



Dans les conditions precedentes, considerons les fonctions y ft (?) definies 

 par les relations 



A«,^) = (!. = !, a,. ..,«>), 



[>, yj(5)] etant le point de E situe dans x = 5 |ou bien |?, Y)/(S)| etant 

 les/? points de E situes dans # = ?] au voisinage du point (.r ,v ) de E, 

 les fonctions y n (c) seront algebroldes dans un domaine assez restreint 

 E-a?,|<e, et, dans ce domaine, on aura |y n (?) -y e |<e'. Dans le 

 domaine ; — ,v lt < z, les fonctions >' w (5) convergeront uni forme me nt vers la 

 fonction yj(£) | ou vers les fonctions yj,(;), selon les cas |, car il est aise de 

 demontrer que 1'hypothese de la convergence non uniforme conduirait a 

 cette conclusion [contraire a l'hypothese faiie sur E), quil existerait plus 

 d'un point de E dans un certain plan x = \ du domaine I \ - x„ | < &. 

 Keciproquement, si 7 pour tout point % du domaine \ \ — x t) i < e, les r w (0 

 definies par /„(£, y) = o dans le domaine, out un seul point limile yj(5), /« 

 convergence etant uniforme dans le domaine, le point | :', r,< : >| e?f/ & *&il 

 point de K sitae dans le plan x = \, et la fonction yj(£), limit e des fonctions 

 algebroides y,(?), est holomorphe dans |£- -.r„|<£. S'il y a p points 

 limites ty(5), la convergence etant encore uniforme, yj,(5) sera encore 



